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等差数列求和公式证明推导

数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,下面是由高考必中网小编就为同学们分享一些等差数列求和公式证明推导,供参考。

等差数列求和公式证明推导

 1.等差数列

等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

通项公式为:an=a1+(n-1)*d。首项a1=1,公差d=2。

前n项和公式为:Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

注意:以上n均属于正整数。

 2.求和公式

若一个等差数列的首项为a1,末项为an那么该等差数列和表达式为:

S=(a1+an)n÷2

即(首项+末项)×项数÷2

前n项和公式

注意:n是正整数(相当于n个等差中项之和)

等差数列前N项求和,实际就是梯形公式的妙用:

上底为:a1首项,下底为a1+(n-1)d,高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]*n/2={a1n+n(n-1)d}/2。

Sn=n*a1+{n*(n-1)}/2*d

点击查看:高中数学知识点总结

 3.等差数列求和公式证明推导

一。从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。

二。从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}

三。若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)*a(n),S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列,等等。

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)

(对3的证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

其他推论

①和=(首项+末项)×项数÷2

(证明:s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

证明原理见高斯算法

项数=(末项-首项)÷公差+1

(证明:(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

②首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1)

③末项=2x和÷项数-首项

(以上2项为第一个推论的转换)

④末项=首项+(项数-1)×公差

(上一项为第二个推论的转换)

推论3证明

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得,

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又因为

m+n=p+q;

a(1),d均为常数

所以

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则有a(m)+a(n)=2a(p)

注:1。常数列不一定成立

2。m,p,q,n属于自然数

⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

以上就是高考必中网小编整理的等差数列求和公式证明推导,希望这些正弦余弦定理知识对你们有帮助的。

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