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线面平行可以得到线线平行吗?直线性质定理

可以推出。线面平行只能说,过这条直线作一平面和这平面的交线与这条直线平行,在这平面内所有与这条交线平行的直线也和这条直线平行。面面平行中,这两个平面内的直线还有可能是异面直线。

直线性质定理

定理1

一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 。

已知:a∥α,a∈β,α∩β=b。求证:a∥b

证明:假设a与b不平行,设它们的交点为P,即P在直线a,b上。

∵b∈α,∴a∩α=P

与a∥α矛盾

∴a∥b

此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。

注意:直线与平面平行,不代表与这个平面所有的直线都平行,但直线与平面垂直,那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。

定理2

一条直线与一个平面平行,则该直线垂直于此平面的垂线。

已知:a∥α,b⊥α。求证:a⊥b

证明:由于α的垂线有无数条,因此可将b平移至与a相交,设平移的直线为c,a∩c=M,c与α的垂足为N。

∵两条相交直线确定一个平面

∴设a和c构成的平面为β,且α∩β=l

∵N∈c,N∈α,c⊂β

∴N∈l,且由定理1可知a∥l

∵c⊥α,l⊂α

∴c⊥l

∴a⊥c

由于平移不改变直线的方向,因此a⊥b

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