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求异面直线所成角的常用方法有哪些?如何求异面直线所成的角

过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角)就是异面直线所成的角。角的范围是θ∈(0°,90°]。

几何法和向量法求所成角

几何法

1.平移法。将两条直线或其中一条平移(找出平行线)至它们相交,把异面转化为共面,用余弦定理或正弦定理来求(一般是余弦定理)。一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。

2.三余弦定理法。运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影,求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角,进而求a与b所成角。

3.三棱锥法。三棱锥(四面体)中两条相对的棱互为异面直线,设有四面体ABCD,其中AD与BC互为异面直线,那么它们所成角θ满足以下关系:

求异面直线所成角的常用方法有哪些?如何求异面直线所成的角

运用该公式也可以求异面直线所成角。

向量法

1.向量几何法。运用向量的加减法规则,把要求的异面直线用向量表示,并运用向量的运算法则(例如分配律、共线向量)来求出cosθ

2.向量代数法。当容易找到三条两两垂直的直线时,可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系,运用代数方法计算。

如何求异面直线所成的角

在高一阶段,我们常用的方法有以下三种:

(1)直接平移法: 通常的思路是:在两条异面直线其中一条上面选一个端点,引另一条的平行线。

(2)中位线平移(尤其是图中出现了线段的中点时)

(3)补形平移法:“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。