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(-1)^n/n收敛吗

收敛。(-1)^n/n是交错级数,由莱布尼茨判别法知收敛。收敛是研究函数的一个重要工具,是指会聚于一点,向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

收敛数列

令{an}为一个数列,且A为一个固定的实数,如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N,使得对于任意n>N,有|an-A|

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列,u1(x), u2(x) ,u3(x)……至un(x)……. 则由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……⑴称为定义在区间i上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+……+un(x0)+.... (2) 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数(2)发散,就称点x0是函数项级数(1)的发散点。函数项级数(1)的收敛点的全体称为他的收敛域 ,发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x,函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ,因而有一确定的和s。这样,在收敛域上 ,函数项级数的和是x的函数S(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,并写成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x),则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 (当然,只有x在收敛域上rn(x)才有意义,并有lim n→∞rn (x)=0

数学分析术语发散

在数学分析中,与收敛相对的概念就是发散。发散级数指(按柯西意义下)不收敛的级数。如级数1+2+3+4+……和1-1+1-1+……,也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷极限。

如果一个级数是收敛的,这个级数的项一定会趋于零。因此,任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过,收敛是比这更强的要求:不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数。