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两平面平行的性质 线面平行的判定定理

两个平面平行,在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面;2.两个平面平行,和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面;3.两个平行平面,分别和第三个平面相交,交线平行。

线面平行的判定

定理1:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

已知:a∥b,α不包含a,α包含b,求证:a∥α

向量法证明:设a的方向向量为a,b的方向向量为b,面α的法向量为p。∵α包含b

∴b⊥p,即p·b=0∵a∥b,由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb

那么p·a=p·kb=kp·b=0 即a⊥p ∴a∥α

定理2:平面外一条直线与此平面的垂线垂直,则这条直线与此平面平行。

已知:a⊥b,b⊥α,且a不在α上。求证:a∥α

证明:设a与b的垂足为A,b与α的垂足为B。

假设a与α不平行,那么它们相交,设a∩α=C,连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面,因此ABC首尾相连得到△ABC

∵B∈α,C∈α,b⊥α ∴b⊥BC,即∠ABC=90°

∵a⊥b,即∠BAC=90° ∴在△ABC中,有两个内角为90°,这是不可能的事情。

∴假设不成立,a∥α。

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