2015年高考理科数学试题预测卷

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

如果事件、互斥，那么．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式，，．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、是虚数单位，（      ）

A．       B．       C．       D．

2、函数的定义域为实数集，“是奇函数”是“是偶函数”的（      ）

A．充分非必要条件           B．必要非充分条件

C．非充分非必要条件         D．充要条件

3、是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差（      ）

A．       B．       C．       D．

4、函数在区间上单调递增，常数的值可能是（      ）

A．       B．       C．       D．

5、双曲线：的两条渐近线夹角（锐角）为，则（      ）

A．       B．       C．       D．

6、一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1

  的等腰直角三角形，则它的体积（      ）

A．     B．     C．     D．

7、的二项展开式17个项中，整式的个数是（      ）

A．      B．      C．      D．

8、设，集合，，记“从集合中任取一个元素，”为事件，“从集合中任取一个元素，”为事件．给定下列三个命题：

①当，时，；

②若，则，；

③恒成立．

其中，为真命题的是（      ）

A．①②    B．①③    C．②③    D．①②③

二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分．

(一)必做题（9～13题）

9．不等式的解集为      ．

10．已知抛物线：的焦点为，是上一点，若在第一象限，，

     则点的坐标为      ．

11．若变量、满足约束条件，则的最大值             ．

12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果     ．

13．已知与之间的几组数据如下表：

	3	4	5	6
	2.5	3	4	4.5

假设根据上表数据所得线性回归方程为，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为，则，．（填“”或“”）

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线上到直线的距离为1的点的个数是        ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的弦、相交于点，若，，则        ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知顶点的直角坐标分别是、、．

⑴求的值；

⑵若，证明：、、三点共线．

17．（本小题满分13分）

某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：

组距	频数	频率
[100，102)	17	0.17
[102，104)	18	0.18
[104，106)	24	0.24
[106，108)
[108，110)	6	0.06
[110，112)	3	0.03
合计	100	1

⑴求上表中、的值；

⑵估计该基地榕树树苗平均高度；

⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有株，求的分布列和期望．

18．（本小题满分14分）

设数列的前项和，．

⑴求的值；

⑵求数列的通项公式；

⑶证明：对一切正整数，有．

19．（本小题满分13分）

如图4，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．

⑴求证：平面平面；

⑵求二面角的平面角的余弦值．

20．（本小题满分14分）

平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，焦点为、，

直线：经过焦点，并与相交于、两点．

⑴求的方程；

⑵在上是否存在、两点，满足，？若存在，求直线的方程；

 若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数，是自然对数的底数，，为常数．

⑴若在处的切线的斜率为，求的值；

⑵在⑴的条件下，证明切线与曲线在区间至少有1个公共点；

⑶若是的一个单调区间，求的取值范围．

评分参考答案

一、选择题  BACD DCBB

二、填空题  ⒐或（每个区间2分，在此基础上正确用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）

   ⒑（若写成或给3分，其他不给分）

   ⒒    ⒓    ⒔，（若两空一对一错，给3分）    ⒕    ⒖

三、解答题

⒗⑴（方法一），，……3分

……6分（公式2分）

（方法二），……2分

……6分（公式2分）

⑵（方法一），……9分

∵，∴、共线……11分

∵、有共同的始点，∴、、三点共线……12分

（方法二）经过、两点的直线的方程为

（即）……9分

设，由得……10分

解得……11分

∵（或），∴(在上)、、三点共线……12分

⒘⑴，……2分

⑵估计该基地榕树树苗平均高度为

()……6分

（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）

⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此的所有可能取值为0，1，2，3……7分

，，

，

……11分

	0	1	2	3

的分布列为

……12分

的期望为……13分（列式正确1分）

⒙⑴……1分

⑵时，

……4分（上式每个等号1分）

时，，所以，……5分

⑶由⑵知，时，……7分

……9分

……11分

……12分，……13分

∵单调递增，∴，……14分

⒚⑴设四棱柱的棱长为

∵，∽，∴……1分

由，，得，……2分

∵，∴，……3分

是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面……4分

∵平面，∴平面平面……5分

⑵（方法一）过作于，于，连接……6分

由平面平面，平面平面，

平面……7分

∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角……9分

在中，，，，，在中，，，，（、求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分

，……13分

（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系……6分，则

，，……7分

设平面的一个法向量为，则……9分，即，不妨取……10分，由⑴知，……11分，平面的一个法向量为

……12分，二面角的平面角的余弦值……13分

⒛⑴依题意，……2分，由得……3分

，椭圆的方程为……4分

⑵（方法一）若存在满足条件的直线，∵，∴，设直线的方程为……5分

由……6分，得……7分

，（*）

……8分

设，，则，……9分

由已知，若线段的中点为，则，……10分

，即……11分

由……12分，解得……13分

时，，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线

……14分

（方法二）假设存在，，线段的中点为，则，……5分

由两式相减得：

……7分，代入、化简得：    ①……8分

由已知，则，……9分

由得，  ②……10分

由①②解得，即……11分

直线CD的方程为：……12分

联立得……13分

∵，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线

……14分

21．⑴……1分

依题意，，解得……2分

⑵由⑴，直线的方程为，即……3分

作，

则……4分，……5分（用其他适当的数替代亦可）

因为在上是连续不断的曲线，，在内有零点，，从而切线与曲线在区间至少有1个公共点……6分

⑶，是的一个单调区间当且仅当在上恒大于等于零，或恒小于等于零，由，作

，由得……7分

	－	0	+
	↘	最小值	↗

……9分

在上的最小值为，所以，当且仅当时，在上单调递增……11分

下面比较与的大小

（方法一）由，，以及在上单调递减得……12分

……13分

，

∴，当且仅当时，在上单调递减，综上所述，的取值范围为……14分

（方法二）由，，以及的单调性知，……12分

由知，单调递减……13分

由得，，，∴，当且仅当时，在上单调递减，综上所述，的取值范围为……14分

（“单调递增……11分”以下，若直接写，再给1分）