北京市海淀区2017届高三下学期期中考试文数试卷.doc

高三年级第二学期期中练习数学（文科）

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，集合，则集合等于（ ）

A．B．C．D．

2.圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）

A．B．C．D．

3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）

A．4资*源%库 B．3C．2D．1

4.若实数，满足，，则“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）

A．B．C．D．3

6.在上，点满足，则（ ）

A．点不在直线上B．点在的延长线上

C．点在线段上D．点在的延长线上

7.若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

8.如图，在公路两侧分别有，，…，七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）

①车站的位置设在点好于点；②车站的位置设在点与点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．

A．①B．②C．①③D．②③

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9.已知复数为纯虚数，则实数．

10.已知等比数列中，，，则公比，其前4项和．

11.若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则实数．

12.若，满足则的最大值是 ．

13.已知函数（），若函数（）的部分图象如图所示，则 ，的最小值是 ．

14.阅读下列材料，回答后面问题：

在2014年12月30日播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”

对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知等差数列满足，．　

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有，两种“共享单车”（以下简称型车，型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．

（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到型车，3人租到型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到型车的概率；

（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租型车的用户中，在第4个月有的用户仍租型车．　

第3个月 第4个月	租用型车	租用型车
租用型车
租用型车

若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用，两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．　

17.在中，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，求的值.

18.在四棱锥中，底面为正方形，平面，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）求证：平面平面．　

19.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，若点在直线上，直线与椭圆交于另一点.判断是否存在点，使得四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

20.已知函数，曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求函数的最小值；

（Ⅲ）求证：存在，当时，．　

资*源%库

资*源%库

高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案

一、选择题

1-5:6-8:

二、填空题

9.2 10.2,15 11.4 12.13.2，

14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；

选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；

不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．

三、解答题

15.解：（Ⅰ）设数列的公差为，

因为，，所以，

所以，．

又，所以，

所以．

（Ⅱ）记，所以，

又，

所以资*源%库是首项为6，公差为4的等差数列，

其前项和．

16.解：（Ⅰ）依题意租到型车的4人为，，，；租到型车的3人为，，；

设事件为“7人中抽到2人，至少有一人租到型车”，

则事件为“7人中抽到2人都租到型车”．

如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，

所以事件概率．

（Ⅱ）依题意，市场4月份租用型车的比例为，

租用型车的比例为，

所以市场4月租用，型车的用户比例为．

17.解：（Ⅰ）因为，

所以由正弦定理，得，

得，所以．

（Ⅱ）由余弦定理，，

因为，，，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以．

18.（Ⅰ）证明：连接，与交于点，连接，

在中，，分别是，的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因为平面，所以为棱锥的高．

因为，底面是正方形，

所以，

因为为中点，资*源%库所以，

所以．

（Ⅲ）证明：因为平面，平面，

所以，

在等腰直角中，，

又，平面，平面，

所以平面，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面．　

19.解：（Ⅰ）由，得.

又因为，所以，所以，

所以椭圆的方程为．　

（Ⅱ）假设存在点，使得四边形为梯形.

由题意知，显然，不平行，所以，

所以，所以．

$来&源：设点，，

过点作于，则有，

所以，所以，所以，

代入椭圆方程，求得，

所以．

20.解：（Ⅰ），

由已知可得，所以，得．

（Ⅱ），令，得，

所以，，的变化情况如表所示：

		极小值

所以的最小值为．

（Ⅲ）证明：显然，且，

由（Ⅱ）知，在$来&源：上单调递减，在上单调递增．

又，，

由零点存在性定理，存在唯一实数，满足，

即，，

综上，存在两个零点，分别为，．

所以时，，即，在上单调递增；

时，，即，在上单调递减；

时，，即，在上单调递增，

所以是极大值，是极小值，

，

因为，，

所以，所以，

因此时，．　

因为且在上单调递增，

所以一定存在满足，

所以存在，当时，.