吉林省长春市二中2015-2016学年高二上学期第三次月考试卷数学

高二年级上学期第三次考试数学科试卷

一选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）

1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ）

A．B．C．D．

2．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ 　）

A．p真q真　 B．p假q真 C．p真q假 　D．p假q假

3．一个椭圆的半焦距为，离心率，则它的短轴长是（ ）

A．B．C．D．

4．程序框图（算法流程图）如图所示，其输出结果（ ）

A．B． C．D．

5．圆(x－3)²＋(y＋4)²＝1关于轴对称的圆的方程是(　　)

A.(x＋3)²＋(y＋4)²＝1 B.(x－4)²＋(y＋3)²＝1

C.(x＋4)²＋(y－3)²＝1 D.(x－3)²＋(y－4)²＝1

6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )

A．B．C．D．

7．是直线与直线垂直的（ ）

A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线

准线的距离之和的最小值为（ ）

A．B．C．D．

9． P是双曲线左支上的一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，

且焦距为2c，则 的内切圆的圆心的横坐标为（ ）

1. B.C.D.

10．直线与圆C：x²+(y-1)²=1的位置关系是( )

A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切

11．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线l与双曲线的右支有且只有一个

交点，则此直线l斜率的取值范围是

A.(,) B. (,) C.[ ,] D. [,]

12．过椭圆＝1上一点M作圆x²＋y²＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的

直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为(　　)

A.B. C．1 D.

二．填空题（共4道小题，每小题5分，共20分）

13．全称命题的否定是____________________.

14．抛物线上一点到该抛物线焦点的距离，则点的横坐标为 ．

15．椭圆，其弦中点为，若直线和的斜率都存在 (为坐标原点)，

则两条直线的斜率之积为______.

16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：其中真命题为 （写出所有真命题的序号）

①A、B为不同的两个定点,K为非零常数,若|PA|－|PB|＝ K,则动点P的轨迹是双曲线.

②平面内与两个定点,的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆.

③平面内与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

④已知抛物线y²=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切.

三．解答题（共6道小题， 17题10分，其余每题12分，共70分）

17．已知：方程，若此方程表示圆.

（1）求的取值范围

（2）若(1)中的圆与直线相交于M、N两点，且OMON,（O为坐标原点）求：的值.

18．如图,是边长为的正方形，平面，，．

（1）（文理）求证：平面；

（2）（理）求二面角的余弦值；

（文）求三棱锥的体积.

19．抛物线的顶点在原点，焦点是圆的圆心.

（1）求抛物线的方程；（2）直线的斜率为，且过抛物线的焦点，若与抛物线、圆依次交于四个点，求.

20．设椭圆C:(a＞b＞0)的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M(,1).

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆C的一个顶点为B(0,),直线BF₂交椭圆C于另一点N,求△F₁BN的面积.

21．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60^°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．

（1）（文理）求证：PQ∥平面SAD；

（2）（理）如果SA=AB=2，求直线SA与平面SEQ成角的余弦值.

（文）如果SA=AB=2，求点C到平面SAB的距离.

22．椭圆C：离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A(1,0)的直线与椭圆C交于不同两点M,N，设P为椭圆上一点，且

(O为坐标原点)，当<时，求t的取值范围．

高二数学参考答案

一、选择题 B B C C D A A B C D C B

12．B 【解析】设M(x₀，y₀)，圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x₀x＋y₀y＝2，得P，Q，△POQ的面积×·＝.点M在椭圆上，所以＝1≥2·，得|x₀y₀|≤3，所以≥，当＝时等号成立

二、填空题 13． 14．3 15．16．④

三、解答题

17．17．m<5

18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

试题解析：（Ⅰ）证明： 因为平面，

所以． 因为是正方形， 所以， 从而平面．

(2)解：因为两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示．

因为与平面所成角为，即，

所以．

由可知，．

则，，，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则．

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以．

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

(3) 证明 平面

由

19．⑴⑵6

【解析】（1）圆，是圆心，，即知，则抛物线的方程为.

（2）法一：由焦点弦的公式，

则.

法二：联立消y得

则

20．(1)(2)

【解析】(1)解法一：∵l⊥x轴, ∴F₂的坐标为(,0).

由题意可知∴所求椭圆方程为

解法二:由椭圆定义,可知|MF₁|+|MF₂|=2a.由题意|MF₂|=1,∴|MF₁|=2a-1.

Rt△MF₁F₂,可知(2a-1)²=(2)²+1,a＞0,∴a=2.又a²-b²=2,得b²=2.∴椭圆C.

(2)解:直线BF₂的方程为y=x-.由得点N的纵坐标为.又|F₁F₂|=2,

∴S_△F1BN=.

21．（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF． 因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，

所以 FP∥CD，且FP=CD． 又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，

所以 AQ∥CD，且AQ =CD．所以 FP//AQ且FP=AQ．

所以 AQPF为平行四边形． 所以 PQ//AF． 又因为平面，

平面，所以 PQ//平面SAD ．

(2)为轴建立空间直角坐标系

平面的一个法向量为

线面角正弦值余弦值

(3)

22．（1）；（2）．

试题解析：（1），，即．

又，．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，

设直线方程为，，

联立方程消去y得，

因为直线与椭圆交于两点，所以恒成立，

，又，

因为点P在椭圆上，所以，

即，又，

即，整理得：，

化简得：，解得或（舍），

，即．

当直线MN的斜率不存在时，，此时，

．

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．