高考时间轴

四川省德阳五中2015-2016学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷

浏览：编辑：晓云 2022-03-04 11:42

德阳五中2016年上期高二第一次月考数学试题

（理科试题）

命题人：文承华审题人：夏大建

一．填空题（本大题共12个小题，每小题5分）

1．命题“若x²>y²，则x>y”的逆否命题是(　　)

A．“若x<y，则x²<y²”　　　B．“若x>y，则x²>y²”

C．“若x≤y，则x²≤y²”D．“若x≥y，则x²≥y²”

2．设函数可导，则等于（）．

A．B．C．D．以上都不对

3．若直线l₁：ax＋2y＋6＝0与l₂：x＋(a－1)y＋a²－1＝0垂直，则实数a＝(　　)

B．－1

C．2D．－1或2

4曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）

AB

C和D和

来源：5. 设p:f(x)=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，q:m≥,则p是q的（）

A,充分不必要条件 B，必要不充分条件

C，充分必要条件 D，既不充分也不必要条件

6函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，

则函数在开区间内有极小值点（）

A个B个C个D个

7．若f(x)＝－x²＋2ax与g(x)＝，在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]

8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则(　　)

A．a＝4B．a＝5

C．a＝6D．a＝7

9．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝（）

A．2∶1B．3∶1

C．3∶2D．4∶3

10．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为（）

A．B．C．D．1

11．设F₁，F₂分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|＝|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)

B.C.D.

12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1,为f(x)的导函数，已知函数y＝的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则的取值范围是(　　)

A．(，)

B．(－∞，)∪(3，＋∞)

C．(，3)

D．(－∞，－3)

填空题（本大题共4个小题，每小题5分）
13.把二进制数110 011₍₂₎化为十进制数为________
14．设函数，若曲线在点处的切线方程为，则。
15.设F为抛物线C：y²＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________
16.对于三次函数f（x）＝ax³＋bx²＋cx＋d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x₀，则称点为函数y＝f（x）的“乖点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“乖点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“乖点”就是对称中心．”请你根据这一发现，请回答问题：
若函数g（x）＝x³－x²＋3x－，则g（）＋g（）＋g（）＋g（）＋…＋g（）＝　　．
三．解答题（17题10分，其余各题每题12分）
17．已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
1. 求a，b，c的值；
2. 求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．

18.已知函数（）的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的值域.

19．洋洋百货销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)²，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

求a的值；
若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使洋洋百货每日销售该商品所获得的利润最大．
20.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角FBED的余弦值；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
21.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e为，且过点(2，)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若k_AC·k_BD＝－.求证：四边形ABCD的面积为定值．
22．（本大题满分12分）
已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围；
（3）求证：

参考答案（理科）
一.CAACC ADAAB BC
二13:51 14：1；15:12；16:2010.
三17解：(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，得f′(x)＝3x²＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，
所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4.所以c＝5.
(2)由(1)，可得f(x)＝x³＋2x²－4x＋5，f′(x)＝3x²＋4x－4.令f′(x)＝0，
解得x₁＝－2，x₂＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x －3 (－3，－2) －2 1
f′(x) ＋＋ 0 来源：－ 0 ＋＋
f(x) 8  13   4
所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为.
18证明：（Ⅰ）
．----------------------3分
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．--------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，
所以，所以，--------------9分
因此，即的取值范围为-----------12分
19.解：(1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)².
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)²，3<x<6.
从而f′(x)＝10[(x－6)²＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3，4) 4 (4，6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20（理科）解：(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC.
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)∵DE⊥平面ABCD，
∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角，
即∠EBD＝60°.
∴＝.由AD＝3，得BD＝3，DE＝3，AF＝.
如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)．
∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，
即.令z＝，则n＝(4，2，)．
∵AC⊥平面BDE，

∴＝(3，－3，0)为平面BDE的一个法向量．
∵cos〈n，〉＝＝＝.
故二面角FBED的余弦值为.
依题意，设M(t，t，0) (t>0)，则＝(t－3，t，0)，