天津市静海一中、芦台一中等六校2015-2016学年高二上学期期末联考数学（理）试卷

2015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级

数学（理）试卷

命题人：杨村一中芦台一中

第Ⅰ卷（选择题）

1. 选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）
   1.“”是“方程表示的图形为双曲线”的
   A.充分不必要条件B.必要不充分条件
   C.充要条件D.既不充分也不必要条件
   2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则
   A．若//，//，则//B．若//，//，则//
   C．若//，，则D．若//，，则
   3．下列四个命题中的真命题为
   A.，使得B.，总有
   C.，，D.，，
   4．已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为
   A．B．1C．D．
   5.设、是双曲线的两个焦点，在双曲线上，当的面积为2时，的值为
   A．2B．3C．4D．6
   6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
   A.64B.72C.80D.112
   7.已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是
   1. B．C．D．

8.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）

．．．．

第Ⅱ卷（非选择题）（将答案写在答题纸上）

二、填空题、（每小题5分，共30分）

9.已知两直线与平行，则.

10.双曲线的一个焦点为，则的值是.

11.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为.

12．若点(3,1)是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则＝.

13.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的范围是.

14.若曲线与直线有一个交点，则实数的取值范围是.

三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）

15．(本题满分13分)命题：直线与圆相交于两点；命题：曲线表示焦点在轴上的双曲线，若为真命题，求实数的取值范围．

16．(本题满分13分)已知圆C：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为．

(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ)已知不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程．

17.(本题满分13分)如图，三棱柱中，,，．(Ⅰ)证明；(Ⅱ)若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值．

18．(本题满分13分)已知抛物线的焦点为,直线过点.

(Ⅰ)若点到直线的距离为,求直线的斜率;

(Ⅱ)设为抛物线上两点,且不与轴垂直,若线段的垂直平分线恰过点,求证:线段中点的横坐标为定值.

19．(本题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点.

(Ⅰ)若，求证：平面平面；

(Ⅱ)点在线段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.

20.(本题满分14分)

巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆有相同的离心率.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

2015-2016学年度第一学期期末六校联考高二年级

数学（理）参考答案

一 选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）

1A2C．3D4C5B6C 7 A 8 A

二、填空题、（每小题5分，共30分）

9. -7 10. K=-1 11. 12.　2

1314

三、解答题（共80分

15．(本题满分13分)

解：∵命题p：直线y=kx+2与圆x²+y²=1相交于A，B两点，

∴圆心到直线的距离，………3分

，………5分

∵命题：曲线表示焦点在轴上的双曲线

，解得，………10分

∵为真命题，∴p，q均为真命题，∴………13分

16．(本题满分13分)

解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为

又∵圆心C在第二象限∴

由①②解得D=2，E=－4…………4分

∴所求圆C的方程为：………………7分

（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，

设：………8分

圆C:

圆心到切线的距离等于半径,即,………10分

或………11分

所求切线方程或………13分

17.(本题满分13分) (第一问6分第2问7分)

………… 8分

有题设知(1,0,0),(0,,0),(0,0,),(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,),…………10分

…………13分

18．(本题满分13分)

(Ⅰ).…………………4分

(Ⅱ) 设线段中点的坐标为,,

因为不垂直于轴,

则直线的斜率为, 直线的斜率为, ………………6分

直线的方程为,

联立方程

消去得, ……………9分

所以, …………………10分

因为为中点, 所以, 即, …………………12分

所以.即线段中点的横坐标为定值. …………………13分

19(本题满分14分)

，…………9分

设是平面的一个法向量，则，即，

令得，，…………11分

又是平面的一个法向量，

，

故二面角的大小为. …………14分

20(本题满分14分)解 ：(I )椭圆的长轴长为，故，又与椭圆有相同的离心率,故所以椭圆M的方程为.......................................3分

(II)若的斜率存在，设因与C相切，故，

即.①....................(5分

又将直线方程代入椭圆M的方程得

设

由韦达定理得+=，..................................(7分)

由得到

+++=0，....................(8分)

化简得，②

联立①②得。

综上所述，存在圆. .............................................(9分)

由得

=

........................11分

当时，，

又当k不存在时，故为所求. ............14分