高考时间轴

安徽省合肥市肥东县二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

浏览：编辑：阿超 2022-03-04 12:48

肥东二中2015—2016学年度第二学期期中考试

高二年级数学（理科）试卷

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

已知，则（）

B. C. D.

2. “”是“”的（）

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 等于（）

e²-2 B. e一1 C. e² D. e+1

4. 已知命题命题则下列命题中为真命题的是（）

B. C. D.

5. 抛物线的准线方程是（）

B. C. D.

6. 已知，，若∥，则λ与μ的值可以是(　　)

B. C. -3，2 D. 2，2

7. 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是（）

B. C. 9 D. 15

8. 双曲线的渐近线与圆相切，则（）

B. 2 C. 3 D. 6

9. A和B是抛物线上除去原点以外的两个动点，是坐标原点且满足

，则动点的轨迹方程为（）

B. C. D.

10. 若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )

＜1 B. 0＜＜1 C. b＞0 D. b＜

11. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）

B. C. D.

12. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 (　　)．

B. C. D.

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13. 命题“，”的否定是

安徽省合肥市肥东县二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的焦距为8，则

15. 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是____________．

16. 已知函数在点（2，f（2））处的切线方程为，则函数在点（2，g（2））处的的切线方程为 .

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17. （10分）已知：“直线与圆相交”；：“方程的两根异号”．若为真，为真，求实数的取值范围．

18. （12分）已知函数f(x)＝x³＋mx²－3m²x＋1，m∈R．

当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程；
若f(x)在区间(－2，3)上是减函数，求m的取值范围．

19. （12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，∠DAB＝60°，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2，PD⊥底面ABCD，M为PC的中点．

证明：BD⊥PC；
若，求二面角D－BM－P的余弦值．
20.   （12分）
已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.
（Ⅰ）证明：为钝角.
（Ⅱ）若的面积为，求直线的方程;

21.   （12分）已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且是其中一个零点．
(1)求的值；
(2)求的取值范围；
(3)设，且的解集为，求实数的取值范围．
22.   （12分）已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

肥东二中高二下学期期中考试数学（理科）
1.B 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.A 9.A 10.B 11.C 12.B
13. 14.3 15.16.
17.∵为真，为真，∴假真．
若为假：由圆心到直线的距离不小于半径，即，
∴或．若为真：由韦达定理知：即．
所以当假真时，或．
故的取值范围是：．
18. 解：（1）当m＝1时，，
又f′(x)＝x²＋2x－3，所以f′（2）＝5．又，
所以所求切线方程为y－＝5(x－2)，即15x－3y－25＝0．
所以曲线y＝f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为15x－3y－25＝0．
（2）因为f′(x)＝x²＋2mx－3m²，
令f′(x)＝0，得x＝－3m或x＝m．当m＝0时，f(x)＝x²≥0恒成立，不符合题意．
当m＞0时，f(x)的单调递减区间是(－3m，m)，若f(x)在区间(－2，3)上是减函数，则，解得m≥3．
当m＜0时，f(x)的单调递减区间是(m，－3m)，若f(x)在区间(－2，3)上是减函数，则，解得m≤－2．综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤－2．
19.解：（Ⅰ）证明：由余弦定理得，
    ∴ BD²+AB²＝AD²．
    ∴∠ ABD＝90°，BD⊥AB，
    ∵ AB∥DC，∴BD⊥DC．
    ∵ PD⊥底面ABCD，BD底面ABCD，∴BD⊥PD．
    又∵ PD∩DC＝D，∴BD⊥平面PDC，
    又 PC平面PDC，∴BD⊥PC．
    （Ⅱ）已知 AB＝1，AD＝CD＝2，PD＝1，
    由（Ⅰ）可知 BD⊥平面PDC，
    如图，以 D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，则
   D(0，0，0)，，C(0，2，0)，P(0，0，1)，．

设平面BDM的法向量为m＝(x，y，z)，则
    ∴ x＝0，，令z＝2，
    ∴可取 m＝(0，－1，2)．
同理设平面BMP的法向量为n＝(a，b，c)，
则
    ∴ ，令a＝1，则，，
    ∴可取．
    ∴ ．
    ∴二面角 D－BM－P的余弦值为．
20. (I)依题意设直线的方程为：（必存在），设直线与抛物线的交点坐标为，则有，依向量的数量积定义，即证为钝角
(Ⅱ) 由（I）可知: ,,,, 直线方程为
21.  解：(1)∵f(x)=－x3+ax2+bx+c，∴ ．
∵f(x)在上是减函数，在上是增函数，
∴当时，取到极小值，即．∴ ．
(2)由(1)知，，
∵ 是函数的一个零点，即，∴ ．
∵ 的两个根分别为，．
又∵ 在上是增函数，且函数在上有三个零点，
∴ ，即．
∴ ．
故的取值范围为．
解法1：由(2)知，且．

∵ 是函数的一个零点，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴点是函数和函数的图像的一个交点．

结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．

即方程组安徽省合肥市肥东县二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 ①只有一组

由，得．

即．

∴ 或．

由方程 ②

得．∵ ，

当，即，解得．

此时方程②无实数解，方程组①只有一个解

所以时，的解集为．

(3)解法2：由(2)知，且．

∵1是函数的一个零点

又的解集为，

∴ 的解集为．．．．．

22. （1）∵椭圆过点，且离心率，

∴ 安徽省合肥市肥东县二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷，解得：,，

∴椭圆的方程为：.

（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足．

若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y轴所在直线,

∴直线与椭圆的两不同交点M、N就是椭圆短轴的端点,

∴,

∴直线的斜率必存在，不妨设为k,

∴可设直线的方程为：，即,

联立安徽省合肥市肥东县二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 ,消y得,

∵直线与椭圆相交于不同的两点M、N,

∴ 得： ①

设,

∴,

又,

∴,

化简得,

∴或，经检验均满足①式,

∴直线的方程为：或,

∴存在直线：或满足题意．

【解析】

试题分析：因为，所以，故选B．
考点：导数的计算．
试题分析：因为，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分条件
考点：1.对数的运算；2.充要条件.
略
试题分析：考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．
考点：命题的真假判断．
试题分析：题中抛物线的标准形式为，则其准线方程为，故先A.
考点：1.抛物线的准线方程.
解：因为，，∥，
所以2μ-1=0，解得μ=，，解得λ=2或λ=-3．
所以λ与μ的值可以是：或-3，；
故选A．
试题分析：因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，此时切线的方程为即，所以该切线与轴交点的纵坐标为9，故选C.
考点：导数的几何意义.
双曲线的渐近线方程为，即，圆心到直线的距离为，所以．
考点：双曲线的简单几何性质；直线与圆的位置关系
试题分析：设，，，
则，①，，②，
当直线垂直于x轴时，，
当直线的斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，
设，
联立，得，
∴，，，
∵，∴，即，③，
∵，即，④，
又∵点M满足，⑤，
由③④⑤得：，
而满足上式，
∴点M的轨迹方程为：．
考点：轨迹方程．
试题分析：由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.
考点：导数与函数的极值.
试题分析：直线与两坐标轴的交点为，而椭圆的焦点一定在轴上，所以，，所以
故选C.
考点：椭圆的标准方程与简单几何性质.
试题分析：由题意知当经过点的直线与直线平行时，距离最小；即曲线的导函数为时，此时点，再根据点到直线的距离公式得.
考点：导数的几何意义、最值问题.
试题分析：主要考察的是命题的否定，对存在命题其否定是所有，故可得
考点：命题的否定.
试题分析：通过双曲线的方程，判断实轴所在轴，求出c，利用焦距求出m的值即可. 解：因为在平面直角坐标系Oxy中，双曲线的焦距为8，所以m＞0，焦点在x轴，所以a²=m，b²=m²+4，所以c²=m²+m+4，又双曲线的焦距为8，所以：m²+m+4=16，即m²+m-12=0，解得m=3或m=-4（舍）．故答案为：3．
考点：双曲线的简单性质
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，判断双曲线的焦点所在的轴是解题的关键，法则容易出错．
解：分别取AB、CD的中点E、F连EF，过M作MN⊥EF于N，则MN的长为点M到截面ABCD的距离．
现在△EFG中计算tan∠CAM=2，
∴sin∠CAM=，
再在△MFN中计算MN=MFsin∠CAM=．
故答案为
试题分析：函数在点（2，f（2））处的切线方程为，，，所以切线为
考点：函数导数的几何意义及求切线方程
点评：函数导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，利用几何意义可通过求导数求出切线斜率
试题分析：∵为真，为真，∴假真．
若为假：由圆心到直线的距离不小于半径，即，
∴或． …… 9分
若为真：由韦达定理知：即．
所以当假真时，或．
故的取值范围是：． ……13分
考点：本小题注意考查复合命题真值表的应用，直线与圆的位置关系，二次方程根的情况.
点评：解决此类问题，应该先根据复合命题的真值表判断出两个命题的真假，进而求解各个命题的真假，一般情况是先求命题为真时的范围，如果命题为假，则求它的补集.
【命题意图】本题主要考查导数的运算和几何意义，考查导数在研究函数性质中的应用，考查等价转化思想，考查运算求解能力，考查考生综合运用知识分析问题、解决向题的能力．
略
试题分析：(I)依题意设直线的方程为：（必存在），设直线与抛物线的交点坐标为，则有，依向量的数量积定义，即证为钝角
(Ⅱ) 由（I）可知: ,,,, 直线方程为
考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系；弦长公式。
点评：利用一元二次方程根与系数的关系，结合数量积的坐标运算，将问题进行了等价转化。
试题分析：(1)函数在处单调性发生变化，所以，由得.(2)因为，所以，因此因为函数在上有三个零点，所以必有两个不等的根，．又在上是增函数，所以大根不小于1，即，，故的取值范围为．(3)已知不等式解集求参数取值范围，有两个解题思路，一是解不等式，根据解集包含关系对应参数取值范围.二是转化，将不等式在区间有解理解为恒成立问题，利用函数最值解决参数取值范围.本题由于已知是其中一个零点，所以两个方法都简便.否则应利用变量分离求最值法.