安徽省安庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

安庆一中2015-2016学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）

1．抛物线的焦点坐标是( )

A．B．C．D．

2．＝（1－t，1－t，t），＝（2，t，t），则|－|的最小值是（ ）

A．B．C．D．

3．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （ ）

A．B．C．D．

4．下列命题中正确的是（ ）

A．若为真命题，则为真命题

B．“，”是“”的充分必要条件

C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”

D．命题，使得，则，使得

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AA₁＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A₁B与AC所成角的余弦值是(　　)．

1. B.C.　　D.

6．设F₁（－4，0），F₂（4，0）为定点，动点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝8，则动点M的轨迹是（ ）.

7．若直线交抛物线于A,B两点，且线段AB中点到轴的距离为3，则( )

A、12 B、10 C、8 D、6

8．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为C的右支上一点，且|PF₂|＝|F₁F₂|，则·等于(　　)

A．24 B．48 C．50 D．56

9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F₁、F₂，b＝4，离心率为.过F₁的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF₂的周长为(　　)

A．10 B．12 C．16 D．20

10．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦等于(　　)．

1. B.C.D.

11．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　　)

A.－＝1　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1

12．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）

A．B．C．D．

13．已知命题，．若命题是真命题，则实数的取值范围是 ．

14．已知，，，若向量共面，则．

15．设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为 ．

16．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，①(＋＋)²＝3²；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．

17．（本小题满分10分）已知命题：实数满足，命题：实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆，若是的充分不必要条件，求的取值范围．

18．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,且过点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点，若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

19．（本小题满分12分）在边长是2的正方体-中，分别为

的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.

（1）求EF的长；

（2）证明：平面；

（3）证明:平面.

20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，记的轨迹为,又直线的一个方向向量且过点，与交于两点，求的长．

21．（本小题满分13分）如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．

（1）求证：；

（2）若时，求二面角的余弦值．

22．（本小题满分13分）

如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于C₁的长半轴长.

（1）求实数b的值；

（2）设C₂与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交于点D、E.

①证明：

②记△MAB，△MDE的面积分别是若，求的取值范围.

一、选择题 1-5BCADD 6-10DCCDA 11-12BC

12．C．

【解析】

，∴

，

当且仅当时，等号成立，故的最大值是．

二、填空题

13、[0，1） 14、3 15、16、①②

三、解答题

17、解：由，则，即命题

由表示焦点在轴上椭圆可得：，

∴，即命题

由是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，从而有：

∴

18、(1)由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴. 又椭圆的焦点在轴上, ∴椭圆的标准方程为.

(2)设线段的中点为,点的坐标是，

由，得，由点在椭圆上,得,

∴线段中点的轨迹方程是.

19、解(1)如图建立空间直角坐标系

（2）

而

平面（3）

又

平面.

20、 由抛物线的定义知，动点的轨迹是抛物线，方程．

直线的方程为，即． 设、，代入，整理，得

． 所以．

21、（1）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故．

又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF， 于是．又，所以平面OEC，所以，又因，故平面，所以．

（2）由（1），得，不妨设，，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，

在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则从而设平面的法向量，由，得，

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角为钝二面角，则余弦值为

22、

（1）由题意知：半长轴为2，则有

（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.

由得， 设，则是上述方程的两个实根，于是。又点的坐标为，所以

故，即，故

②设MA的斜率为，则MA的方程为，由解得或，则点A的坐标为又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线MB的斜率为，同理可得点的坐标

于是

因此，又由点的坐标可知，，平方后代入上式，所以故的取值范围为