广东实验中学、广东广雅中学、佛山市第一中学2015-2016学年高二下学期期末三校联考数学（文）试卷

2015学年高二下学期期末省实、广雅、佛山一中三校联考

文科数学

2016年6月

本试卷共8页，18小题，满分150分，考试时间150分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

第I卷

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分）

1.设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}则P∩Q等于

A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{3，4}C．{1，2}D．{1}

2.已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于

A．B．C．D．2

3.下列函数中，满足错误！未找到引用源。(xy)=f(x)+f(y) 的单调递增函数是

A．f（x）=x³B．错误！未找到引用源。C．f（x）=log₂xD．f（x）=2^x

4.设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁﹣a₇+a₁₃=6，则S₁₃=

A．78B．91C．39D．26

5.已知圆C：与抛物线D：y²=20x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积是

A．5πB．9πC．16πD．25π

6.执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=

A．2B．3C．4D．5

7.已知数据x₁，x₂，x₃，…，x_n是广州市n（n≥3，n∈N^*）个普通职工的2015年的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上比尔．盖茨的2015年的年收入x_n+1（约80亿美元），则这n+1个数据中，下列说法正确的是

A．y大大增大，x一定变大，z可能不变

B．y大大增大，x可能不变，z变大

C．y大大增大，x可能不变，z也不变

D．y可能不变，x可能不变，z可能不变

8.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递减区间是

A．[3k﹣1，3k+2]（k∈Z） B．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈Z）

C．[6k﹣1，6k+2]（k∈Z） D． [6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）

9.椭圆错误！未找到引用源。的离心率为e，点（1，e）是圆的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是

A．3x+2y﹣4=0B．4x+6y﹣7=0C．3x﹣2y﹣2=0D．4x﹣6y﹣1=0

10.设集合，，函数若，且， 则的取值范围是

A.(] B. (] C. () D.

11.已知如图所示的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，点P、Q分别在棱BB₁、DD₁上，且，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A₁的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是

主视角

12.已知，若函数有3个或4个零点，则函数的零点个数为

1. 或B.C.或D.或或

第 II卷

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分）

13.已知数列{a_n}满足a_n+1+2a_n=0，a₂=﹣6，则{a_n}的前10项和等于　　

14.已知f（x）=ax³+x²在x=1处的切线方程与直线y=x﹣2平行，则y=f（x）的解析式为　　

15.已知点的坐标满足条件错误！未找到引用源。, 点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于___

16. 设 P点在圆 错误！未找到引用源。上移动，点Q在椭圆错误！未找到引用源。上移动，则错误！未找到引用源。的最大值是

三、解答题：

资源库 17. （本题满分为12分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且错误！未找到引用源。

（I）求∠C； （II）若，求∠B及△ABC的面积．

18. （本题满分为12分）

（I）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并估计第6年该市的个人年平均收入（保留三位有效数字）．

其中x_iy_i=421，x_i²=55，=26.4

附1：=，=﹣

（II）下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：

完成上表，并回答：能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为“收入与接受培训时间有关系”．

附2：

附3：

K²=．（n=a+b+c+d）

19. （本题满分为12分）

如图所示，在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，BC=2AB=4，，E是A₁D₁的中点．（I）在平面A₁B₁C₁D₁内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；

（II）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C₁到平面α的距离．

20.（本题满分为12分）

已知圆F₁：，点F₂（2，0），点Q在圆F₁上运动，QF₂的垂直平分线交QF₁于点P．

（I）求证：为定值及动点P的轨迹M的方程；（II）不在x轴上的A点为M上任意一点，B与A关于原点O对称，直线错误！未找到引用源。交椭圆于另外一点D. 求证：直线DA与直线DB的斜率的乘积为定值，并求出该定值。

21.（本题满分为12分）

已知函数f（x）=（其中a为常数）．

（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）且函数f（x）有3个极值点，求a的范围;

22、23、24题为选做题，考生只能选做一题

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．

（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．在极坐标

（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极

轴）中，曲线C的方程为．

(Ⅰ) 求曲线C的直角坐标方程；

(Ⅱ) 设曲线C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|＋|PB|．

24. （本小题满分10分）选修4-5： 不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）求证：﹣3 ≤ f（x）≤ 3；

（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²﹣2x．

2015学年高二下学期期末省实、广雅、佛山一中三校联考

文科数学解答及评分标准

1~12：CDCAD BBCBC AA

13.14.f（x）=15.; 16.

17. 解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）²﹣c²=3ab，变形可得：a²+b²﹣c²=ab，

由余弦定理可得：cosC=，…3分

∵ …4分 ∴…5分

（2）∵

∴由正弦定理可得：，…7分

又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，…8分

在△ABC中，

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=…10分，

∴S_△ABC=bcsinA=…12分

18.解：（1）由已知中数据可得：，…1分

…3分

,, …4分 ∴，…5分

当x=6时，=33.9．

即第6年该市的个人年平均收入约为33.9千元；…6分

（2）某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：

…7分

假设：“收入与接受培训时间没有关系” …8分

根据列联表中的数据，得到K²的观测值为

…10分

∴…11分

故在犯错概率不超过0.05的前提下我们认为“收入与接受培训时间有关系”． …12分

19. 解：（1）如图所示，连接B₁E，C₁E，则直线B₁E即为所求直线l…2分

证明：∵在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁E平面A₁B₁C₁D₁

∴B₁E⊥CC₁…3分

∵B₁C₁=2A₁B₁=4，E是A₁D₁的中点，

∴∴B₁E⊥C₁E…4分

又CC₁∩C₁E=C₁∴B₁E⊥平面CC₁E…5分

∴B₁E⊥CE，即l⊥CE……6分

（2）如图所示，连接B₁C，则平面CEB₁即为平面α……7分

过点C₁作C₁F⊥CE于F

由（Ⅰ）知B₁E⊥平面CC₁E，故B₁E⊥C₁F

∵C₁F⊥CE，CE∩B₁E=E

∴C₁F⊥平面CEB₁，即C₁F⊥平面α……9分

∵在△ECC₁中，，且EC₁⊥CC₁∴C₁F=……11分

∴点C₁到平面α的距离为2 …12分

（此题也可用等体积法解答：

其中，，，）

20.解：（1）解：如图所示，∴|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|=R=为定值 …1分

且>|F₁F₂|=4 ∴动点P的轨迹为椭圆 …2分

设标准方程为，

∴c=2，b²=4 …3分

故所求动点P的轨迹M的方程为…4分

（2）设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

则B（﹣x₁，﹣y₁），…5分

…7分

∵A，D都在椭圆上，∴…9分

∴…11分

∴…12分

22. 解：（Ⅰ）函数的定义域为

∵……..1分

令可得．列表如下：

x	（0，1）
	﹣	﹣	0	+
	减	减	极小值	增

单调减区间为（0，1）和；增区间为……..3分

（Ⅱ）由……..4分

当∴为的一个根，即一个极值点 ……..5分

∵，且在定义域内有三个极值点

∴在有两不相等的实根 ……..6分

设函数，有

∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增 …..8分

从而，所以， …..9分

∵，

且，

…..10分∴满足函数h（x）在和上各有一个零点

当时，显然没有三个零点 …..11分

∴…..12分

22.解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，

在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，

连接OE，则∠OBE=∠OEB， …..3分又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， …..4分

∴∠OED=90°，

∴DE是⊙O的切线； …..5分

（Ⅱ）设CE=1，AE=x，

由已知得AB=，BE=， …..7分

由射影定理可得AE²=CE•BE， …..8分

∴x²=，即，

解方程可得x=…..9分

∴∠ABC=30º，∠ACB=60°…..10分

23.解：(Ⅰ)由条件可得，

∵∴

∴化简得曲线C的直角坐标方程  ……..4分
（Ⅱ）设点A、B对应的参数分别为，将……..6分
代入整理得，则， ……..8分
又|PA|＋|PB|=……..10分

24.解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立；

当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x +1，

﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立；

当x≥2时，f（x）=﹣3，成立；

故﹣3≤f（x）≤3； ……..5分

（Ⅱ）当x≤﹣1时，x²﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；

当﹣1＜x＜2时，x²﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；

当x≥2时，x²﹣2x≤﹣3，无解； ……..8分

综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1] ……..10分