广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

南开实验学校2015-2016学年第一学期期中考试

高二数学（理科）

2015.10

本试卷共2面，21小题，满分150分。考试用时150分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，收卷时只交答题卷。

一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。每题5分，满分60分）

1.椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

2.下列命题中正确的是 （　　）

A．若a，b，c是等差数列，则log₂a，log₂b，log₂c是等比数列

B．若a，b，c是等比数列，则log₂a，log₂b，log₂c是等差数列

C．若a，b，c是等差数列，则2^a，2^b，2^c是等比数列

D．若a，b，c是等比数列，则2^a，2^b，2^c是等差数列

3.若a,b,c成等比数列，m是a,b的等差中项，n是b,c的等差中项，则（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4.如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（ ）

A．命题p与命题q的真值相同B．命题q一定是真命题

C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题

5. 过点且与有相同焦点的椭圆方程是（　　）

A．B．C．D．

6. 下列函数中，最小值为2的是 （　　）

A．B．

C．D．

7.在中，“”是“”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8.若不等式ax²+bx+2>0的解集是{x| －<x<}，则a+b的值为（　　）

A．-10 B．-14 C．10 D．14

9.椭圆的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为，则椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

10.直线的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是　　　（ ）

A．k＜0　　　B．k＜－1　　　C．k＜1　　　　D．k＞－2

11..已知方程的四根组成首项为的等差数列，则等于（ ）

ABC1D

12.给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则值为( )

A．B．C．D．4

1. 填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.命题“x∈R，x≤1或x²>4”的否定为　　　　　　　　　　　　．

14.不等式的解集为________.

15..

16.

1. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）.

1. （本小题满分12分）

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设的值。

18.（本小题满分10分）

已知函数=,=.

(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;

(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.

19.(本题满分12分)

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?

20.（本小题满分12分）

在数1和100之间插入个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作，再令，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前项和.

21.（本小题满分12分）

已知中心是原点、焦点在y轴上的椭圆长轴长为4，且椭圆过点，

1. 求此椭圆的方程；

（2）过点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.求直线的斜率.

1. （本小题满分12分）

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n(x_n，y_n)作一斜率为k_n= —的直线交曲线C于另一点A_n+1(x_n+1，y_n+1)，点列A_n()的横坐标构成数列，其中x₁=

1. 求x_n与x_n+1的关系式；
2. 求证：是等比数列；
3. 求证：（-1）x₁+(-1)²x₂+(-1)³x₃+……+(-1)ⁿx_n<1(n)

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高二理科数学试题答案

一、选择题

（1）D （2）C （3）C （4）B （5）A （6）C

（7）B （8）B （9）D （10）C （11）A （12）D

二、填空题

（13）x∈R，x>1且x²≦4 （14）（15）（16）

三、解答题

17.解：（Ⅰ）由

由b²=ac及正弦定理得

于是

（Ⅱ）由

由余弦定理 b²=a²+c²－2ac+cosB 得a²+c²=b²+2ac·cosB=5.

18.当=-2时,不等式<化为,

设函数=,=,其图像如图所示

从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.

(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,

∴对∈[,)都成立,故,即≤,

∴的取值范围为(-1,].

19.分析：将已知数据列成下表：

产品	甲种棉纱 （1吨）	乙种棉纱 （1吨）	资源限额 （吨）
一级子棉（吨）	2	1	300
二级子棉（吨）	1	2	250
利 润（元）	600	900

解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，

那么

z=600x+900y．

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．

作直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l₁的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组

得M的坐标为x=≈117，y=≈67．

答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．

20.（Ⅰ）设这+2个数构成的等比数列为，则，则

，，又

所以

（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知

另一方面，利用

得

所以

21．已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .

【答案】

【解析】

试题分析：这题有一定的难度，考查的直线与圆锥曲线相交问题，考查同学们的计算打理能力，当然在解题时注意过程的简捷性，设，同时设的方程为，代入椭圆方程化简得：，显然和是这个方程的两解，因此，，用代替中的，得，．所以．

1. 解：