广东省广州市实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试

数 学（理科）

命题：先开萍 审定：陈胜方 校对：陈胜方

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共60分）

一、(每题5分，共60分)

1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)

A.球B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱

2．直线的倾斜角是(　　 )

1. B.C.D.

3．若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ）

A.过只能作一条直线与平面相交 B.过可作无数条直线与平面垂直

C.过只能作一条直线与平面平行 D.过可作无数条直线与平面平行

4．点到直线的距离是( )

A．B．C．D．

5．已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题

①若，则②若

③若④若

其中正确命题的个数是（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．设直线，.若，则的值为（ ）

A.2 B. -1 C. 2或 -1 D. 1或-2

7．已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与 所形成角的余弦值为（ ）

1. B.C.D.

8．若变量满足，则的取值范围是(　　)

1. B.C.D.
   9．如图，定点A和B都在平面内，定点C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是( )
   A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点
   C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点
   10．若直线l₁：y＝k(x－4)与直线l₂关于点(2，1)对称，则直线l₂恒过定点(　　)
   A.(0，4) B.(0，2) C.(－2，4) D.(4，－2)
   11.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形， 则该棱柱的体积等于（ ）
   1. B.C.D.

12.如图，在体积为2的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于（ ）

A．B．C．D．

第二部分非选择题（90分）

二、 填空题(每题5分，共20分)

13．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是

14．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为

15．如图四棱柱中，面，四边形为梯形，，且过三点的平面记为，与的交点为，则以下四个结论：

①②③直线与直线相交；

④四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等.

其中正确的有

16．已知中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则周长的最小值 .

三、解答题（共6大题，共计 70分）

17.（本题10分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F 分别是AB，BD 的中点．

求证：（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC面BCD．

18．（本题12分）根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；

（2）直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.

19.（本题12分）如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20.（本题12分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．

（1）若∥平面，求；

（2）求直线和平面所成角的余弦值．

21.（本题12分）已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.

（1）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；

（2）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.

22.（本题12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.当PB取得最小值时，请解答以下问题：

（1）求四棱锥P­BDEF的体积；

（2）若点Q满足()，试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．

---

22.（本题12分）

---

考 号

[0] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [1] [1] [1] [1] [1]

[2] [2] [2] [2] [2] [2]

[3] [3] [3] [3] [3] [3]

[4] [4] [4] [4] [4] [4]

[5] [5] [5] [5] [5] [5]

[6] [6] [6] [6] [6] [6]

[7] [7] [7] [7] [7] [7]

[8] [8] [8] [8] [8] [8]

[9] [9] [9] [9] [9] [9]

答题卡模板(数学)理科

监考员填涂缺考 [ ]

学校__________班级_________姓名____________座位号______

注意事项 :

1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。

2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。

选

择

题

11 [A] [B] [C] [D]

12 [A] [B] [C] [D]

1 [A] [B] [C] [D]

2 [A] [B] [C] [D]

3 [A] [B] [C] [D]

4 [A] [B] [C] [D]

5 [A] [B] [C] [D]

6 [A] [B] [C] [D]

7 [A] [B] [C] [D]

8 [A] [B] [C] [D]

9 [A] [B] [C] [D]

10 [A] [B] [C] [D]

---

广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试

数 学（理科）答案及评分标准

一、选择题

1～12 DCDDD ACABB BD

二、填空题

13.14.x－2y＋4＝015.①②16.

三、解答题

17.（本题10分）证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD． ——2分

∵ EF∥AD ，EF面ACD，AD面ACD，——3分

∴直线EF∥面ACD．——4分

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD． ——5分

∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD． ——6分

又EF∩CF=F，EF、CF面EFC ——7分

∴BD⊥面EFC． ——8分

∵BD面BCD， ——9分

∴面EFC⊥面BCD． ——10分

18.（本题12分）

解：(1)若截距不为0，设直线的方程为＋＝1， ——1分

∵直线过点(－3，4)，∴＋＝1，解得a＝1. ——2分

此时直线方程为x＋y－1＝0. ——3分

若截距为0，设直线方程为y＝kx，

代入点(－3，4)，有4＝－3k，解得k＝－， ——4分

此时直线方程为4x＋3y＝0. ——5分

综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0. ——6分

(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.——8分

当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.——9分

由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝. ——10分

此时直线方程为3x－4y＋25＝0. ——11分

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. ——12分

19．（本题12分）

（1）证明：∵平面 ABC,, ∴,① ——2分

又∵,∴∴② ——4分

由①、②，,, ∴平面——6分

（2）过 A作 ∥交 CD于 H，则平面，过H作 HM,

连接AM，则为二面角所成的平面角. ——8分

在中，, ——9分

∵∽,∴——10分

∴——11分

故二面角的余弦值为. ——12分

20.（本题12分）（1）取中点为，连结， ——1分

∵分别为中点 ∴∥∥，

∴四点共面， ——3分

且平面平面

又平面，且∥平面∴∥

∵为的中点，∴是的中点， ——5分

∴． ——6分

（2）连结，因为三棱柱为直三棱柱，

∴平面∴，即四边形为矩形，且

∵是的中点，∴，又平面，

∴，从而平面，∴是在平面内的射影，

∴与平面所成的角为∠——9分

又∥，

∴直线和平面所成的角即与平面所成的角 ——10分

设，且三角形是等腰三角形，

∴，则，

∴

∴直线和平面所成的角的余弦值为． ——12分

21.（本题12分）

解：（1）∵，∴. ——1分

设点的坐标为，则有，， ——2分

由点到直线的距离公式可知：， ——4分

故有，即为定值，这个值为1. ——5分

（2）由题意可设，可知.

∵与直线垂直，∴，即，

解得，又，∴. ——8分

∴，——10分

∴,

当且仅当时，等号成立. ——11分

∴ 此时四边形面积有最小值. ——12分

22. （本题12分）

解：（1）∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF平面ABFED=,

,∴, ——1分

不妨设，在中，，——3分

当且仅当，即 E为 CD中点时，PB取得最小值. ——4分

——5分

（2）令 AC与 BD的交点为 M，∵，所以 Q在线段AP上， ——6分

设OQ与平面 PBD的交点为N，则 N在线段PM上，

过 O作于 H，则 可证 , ——8分

为 直线 OQ与平面 PBD所成的角， ——9分

∵是等腰三角形，∴， ——10分

∴>或>（三角形外角大于内角） ——11分

即，所以直线 OQ与平面 PBD所成角一定大于. ——12分