广西桂林中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试卷

桂林中学2013—2014学年下学期期中考试

高二文科数学试题

命题时间: 2014年4月7日

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）

1．曲线y＝x³－2在点(1，－) 处切线的斜率为(　 　)

A．B．C．D．

2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为(　 　)

A．29 B．31 C．32 D．33

3．是虚数单位，复数=（ ）

A．B．C．D．

4．已知f(x)＝xlnx，若f ′ (x₀)＝2，则x₀等于(　 　)

A．e²B．e C．ln 22 D．ln 2

5．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）

A．y与x具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

6．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是(　 　)

A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除

C．a，b有一个能被5整除 D．a，b有一个不能被5整除

7．已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则(　　)

A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点

B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点

C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点

D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点

8．定义在R上的可导函数 f(x)=x²+ 2xf′(2)+15，

在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,

则m的取值范围是(　　)

A.m≥2B.2≤m≤4

C.m≥4D.4≤m≤8

9．对任意的x∈R,函数f(x)=x³+ax²+7ax不存在

极值点的充要条件是(　　)

A.a=0或a=7 B. a<0或a>21

C. 0≤a≤21D. a=0或a=21

10．阅读如图所示的程序框图，

运行相应的程序，

则输出S的值为（ ）

A．8 B. 18

C．26 D．80

11．设函数. 若实数a,b满足, 则

A．B. （ ）

C.D.

12．函数f(x)＝x³－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x₁，x₂，都有 | f(x₁)－f(x₂)|≤t，则实数t的最小值是(　 　)

A．20 B．18 C．3 D．0

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13．函数f(x)＝x(1－x²)在[0,1]上的最大值为 ．

14． 在

类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，

若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的

高为h，则得到的正确结论为__________________________．

15．已知复数，且，则的最大值为.

16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是．

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17．（本题满分10分）

若，求证：.

18．（本题满分12分）

已知函数在处取得极值－2.

（1）求函数的解析式；

（2）求曲线在点处的切线方程；

19．（本题满分12分）

已知,且，求证：

20．（本题满分12分）

用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

21．（本题满分12分）

已知函数f(x)=x³-ax-1,

1. 若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
2. 若函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,求实数a的取值范围.

22．（本题满分12分）

设函数．

1. 当时,求函数的单调区间；
2. 当时,求函数在上的最小值和最大值．

桂林中学2013—2014学年下学期期中考试

高二文科数学答案

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

13、 14、

15、16、

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）

17、（本题满分10分）

证明：………5分

所以，原不等式得证。………………10分

18、（本题满分12分）

解：（1），………………1分

依题意有，，即，………………3分

解得．………………5分

∴………………6分

（2）

∴，又………………9分

故曲线在点处的切线方程为

，即………………12分

19、（本题满分12分）

证明：

20、（本题满分12分）

解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为

由解得，………………3分

故长方体的容积为

………………6分

从而 V′(x)＝18x－18x²＝18x (1－x)，

令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)， ………………8分

当00；

当 时，V′(x)<0，

故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，

从而最大体积为V(1)＝9×1²－6×1³＝ 3 (m³) ………10分

此时容器的高为4.5－3＝1.5 m.

因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 m³. ………………12分

21、（本题满分12分）

解： (1) ∵f′(x)=3x²-a, 由条件f′(x)≥0，即a≤3x²在x∈R时恒成立.

而3x²≥0, ∴a≤0, ∴实数a的取值范围是(-∞,0].

(2) 由条件f′(x)≤0 即a≥3x²在x∈(-1,1)时恒成立.

∵x∈(-1,1)时,3x²∈[0,3), ∴只要a≥3即可,

∴实数a的取值范围是[3,+∞).

22、（本题满分12分）

解：对函数求导得.

1. 当时，，由，

可知,在上单调递增.

（2）方法一：当时，，

其图像开口向上，对称轴，且过点

（i）当，即时，，

在上单调递增，从而当时，取得最小值，当时，取得最大值.

（ii）当，即时，令解得，

注意到， 所以.

因为，

所以的最小值；

因为，

所以的最大值；

综上所述，当时，的最小值,最大值.

方法二：

当时，对，都有，

故；

，

故.

又，，

所以，