2021浙江高考数学难不难
06月08日
江西省南昌市第三中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试卷
南昌三中2015—2016学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上）
1.设复数
（
是虚数单位），则复数
的虚部是( )
A．
B．
C．
D．
2.
,若
,则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知ξ
，并且
，则方差
（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
| 男 | 女 | 总计 | |
| 爱好 | 40 | 20 | 60 |
| 不爱好 | 20 | 30 | 50 |
| 总计 | 60 | 50 | 110 |
由
算得，
．
| P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5．
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若函数
在其定义域的一个子区间
内不是单调函数,则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7.若
，则
的值是（ ）
A．-2 B.-3 C.125 D.-131
8.变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1
9.设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有( )
A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）
C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）
10.观察下列各式：
则
（ ）
A．28 B．76 C．123 D．199
11．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）种
资*源%库A.50 B.51 C.140 D.141
12．设函数
，其中
，
，存在
使得
成立，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线
在点
处的切线方程为 .
14. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量
（吨）与相应的生产能耗
（吨）的几组对应数据
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 |  | 4 | 4.5 |
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为
，那么表中的值为_______
15.先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有
、
、
、
、
、
个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为
,
,设事件
为“
为偶数”， 事件
为 “,中有偶数且
”，则概率
等于_________
16．已知函数
，对于任意
，都存在
，使得
，则
的最小值为________
三、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)已知
的展开式前两项的二项式系数之和为10.
- 求
的值. (2) 求出这个展开式中的常数项.
18.（本小题12分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为
.求:
$来&源：（1）他们能研制出疫苗的概率；（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率.
19. （本小题12分）已知函数
在区间
上的最大值为3，最小值为-17，求
的值
20. （本小题12分）
一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.
- 求取出的3个球编号都不相同的概率；
- 记
为取出的3个球中编号的最小值，求
的分布列与数学期望.
21．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
频数
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记
表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，
表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求
，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策
依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
更换的易损零件数
22．（本小题12分）
（
）．
当
时，求
的单调区间；
若
，
存在两个极值点
，
，试比较
与
的大小；
求证：
（
，
）．
南昌三中2015—2016学年度下学期期末考试
高二数学（理）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上）
1.设复数（是虚数单位），则复数的虚部是( A )
A．B．C．D．
2.,若,则的值等于（ D ）
A．B．C．D．
3.已知ξ，并且，则方差（ A ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
| 男 | 女 | 总计 | |
| 爱好 | 40 | 20 | 60 |
| 不爱好 | 20 | 30 | 50 |
| $来&源：总计 | 60 | 50 | 110 |
由算得，．
| P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表，得到的正确结论是( C )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5．的值是（ B ）
A．B．C．D．
6．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是（ B ）
A．B．C．D．
7.若，则的值是（ C ）
资*源%库 A．-2 B.-3 C.125 D.-131
8.变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( C )
A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1
9.设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b时，有( B )
A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）
C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）
10.观察下列各式：则（ C ）
A．28 B．76 C．123 D．199
11．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ D ）种
A.50 B.51 C.140 D.141
12．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为（ A ）
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.曲线在点处的切线方程为
.
14. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | | 4 | 4.5 |
根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为____3 ___
15.先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有、、、、、个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,,设事件为“为偶数”， 事件为 “,中有偶数且”，则概率等于___
______
16．已知函数，对于任意，都存在，使得，则的最小值为____
____
三、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知的展开式前两项的二项式系数之和为10.
(1) 求的值. (2) 求出这个展开式中的常数项.
解：
即
展开式的通项
令
且
得
展开式中的常数项为第7项，即
18.（本小题12分）
面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为.求:
（1）他们能研制出疫苗的概率；（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率.
解析：设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，
“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件E， “C机构在一定时期研制出疫苗”为事件F，
则P（D）=
，P（E）=
，P（F）=
（1） P（他们能研制出疫苗）= 1-P（
）=
=
（2） P（至多有一个机构研制出疫苗）=
)
=
+
+
+P()
=
+
+
+
=
19. （本小题12分）
已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值
解：由题设知k≠0且f'（x）=3kx（x﹣2），0＜x＜2时，x（x﹣2）＜0；
x＜0或x＞2时，x（x﹣2）＞0； x=0和x=2时，f'（x）=0．
由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣20k+b，f（0）=b，f（2）=﹣4k+b
①k＜0时，﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0；0＜x＜2时，f'（x）＞0，
∴f（x）在【﹣2，0）上递减，在（0，2】上递增，
x=0为最小值点；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）
即
，解得k=-1，b=-17
②k＞0时，
，解得k=1，b=3
综上，k=﹣1，b=﹣17或k=1，b=3
20. （本小题12分）
一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球.
- 求取出的3个球编号都不相同的概率；
- 记为取出的3个球中编号的最小值，求的分布列与数学期望.
解析：(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则
，
(II)
的取值为1,2,3,4
所以
的分布列为：
| 1 | 2 | 3 | 4 |
 |  |  |  |  |
的数学期望
21．（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以
的分布列为
 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
 |  |  |  |  |  |  |  |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，故
的最小值为19.
（Ⅲ）记
表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当
时，
.
当
时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
22．（本小题12分）
（）．
当时，求的单调区间；
若，存在两个极值点，，试比较与的大小；
求证：（，）．
解：（Ⅰ）
，定义域
，
，
递减，
递增…3分
（Ⅱ）
，
，
………4分
，
，
，
………5分
（也可使用韦达定理）
设
，当
时，
，
当时，
，
………7分
在
上递减，
，即
恒成立
综上述
………8分
（Ⅲ）当时，
恒成立，即
恒成立
设
，即
，
………12分
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