江西省抚州市临川区第一中学2016-2017学年高二上学期期中考数学（理）试卷

临川一中期中考试高二数学理科试卷

命题人：黄建国 审题人：张小峰

一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知命题P：所有的有理数都是实数；q：正数的对数都是负数

则下列命题中真命题是( )

1. B.C.D.

2.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛

得分的情况用右图的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中

位数分别为( )

A.19、13 B.13、19 C.20、18 D.18、20

3.已知空间四边形分别是对边的中点，点在线段上，且，设，则的值分别是( )

4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为( )

A.7B.9C.10D.12

5.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )

6.命题甲：；命题乙：或，则( )

A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件；

C.甲是乙的充要条件； D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.

7.如果圆锥曲线的焦距是与m无关的非零常数，那么它的焦点坐标是( )

A、(0,±3) B、(±3,0) C、(0,±) D、(±,0)

8.已知点是曲线上的任意一点，直线与双曲线的渐近线交于两点，若为坐标原点），则下列不等式恒成立的是( )

A．B．C．D．

9.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )

10.已知椭圆，过椭圆右焦点的直线交椭圆与两点，交轴与点。设则等于( )

11.如图，将菱形沿对角线折起，使得C点至，

点在线段上，若二面角与二面角

的大小分别为30°和45°，则=( )

12.椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上的一点，，且,垂足为,若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )

A．B．C．D．

二.填空题:（每小题5分,共20分,请将答案填在题中横线上.）

13.抛物线y＝x²的焦点坐标为　

14.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，

线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，

资*源%库AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为　

15.已知椭圆的方程为，其左右焦点分别为，过其左焦点且斜率为1的直线与该椭圆相交与两点，则

16.如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：

①平面平面；

②当且仅当时，四边形的面积最小；

③四边形周长，是单调函数；

④四棱锥的体积为常函数.

则以上命题中真命题的是　

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

已知，设命：函数为减函数，命：当时，函数恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

为了估计某校的一次数学考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在上，将这些成绩分成六段，，…，后得到如图所示部分频率分布直方图．

（1）求抽出的60名学生中分数在内 的人数；

（2）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校优秀人数．

（3）根据频率分布直方图算出样本数据的中 位数

$来&源：

19.（本小题满分12分）

资*源%库如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

20.（本小题满分12分）

直线x+y=1与双曲线－=1 (a>0，b>0)交于M、N两点，若以M、N两点为直径的圆经过坐标原点O.

⑴求－的值；

⑵若0<a≤，求双曲线离心率e的取值范围。

21.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，

，，，，

，.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）已知点为棱上的动点，且平面，求的值；

22.（本小题满分12分）

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：，

过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线与⊙M

相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M

到抛物线准线的距离为．

（1）求抛物线C的方程；

（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；

（3）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

一、选择题（每小题5分，共50分）

二、填空题（每小题5分，共25分）

13．(0,2) 14．2 15．4 16.①②④

三、解答题

17. 18(1)15；（2）135 （3）76 19.（2）3

20.解：⑴由得：(b²－a²)x²+2a²x－a²－a²b²=0(b²≠a²)

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁+x₂=，x₁x₂=由题意得：x₁x₂+ y ₁y₂=0

∴x₁x₂+(1－x₁)(1－x₂)=1－(x₁+x₂)+2x₁x₂=1+－=0

∴b²－a²－2a²b²=0 ∴－=2

⑵∵0即0<2a≤1，≤1－2a²<1，1<≤2，

又∵b²=，e²==1+，∴e∈(，]

21.(1)取中点为，连结，∵∴∵∴

以为原点，如图建系易知，，，，

则，，，

设为面的法向量，令

，则与面夹角有

（2）假设存在点使得面设，

由（2）知，，，，

有∴∵面，为的法向量

∴即∴

∴综上，存在点，即当时，点即为所求.

22解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=，∴，∴抛物线C的方程为y²=x．

（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k_HE=﹣k_HF，

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∴，∴，

∴y₁+y₂=﹣2y_H=﹣4．∴

（Ⅲ）法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵，∴，

∴直线HA的方程为（4﹣x₁）x﹣y₁y+4x₁﹣15=0，

同理，直线HB的方程为（4﹣x₂）x﹣y₂y+4x₂﹣15=0，

∴，，

∴直线AB的方程为，

令x=0，可得，∴当y₀=1时，t_min=﹣11．