河北省唐山市开滦二中2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

开滦二中2016～2017学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理）

命题人：王立波 校对：马健

说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（3）页至第（4）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

3、此试卷适用于网络阅卷，请在答题纸上作答，答题卡勿折叠，污损，信息点旁请不要做任何标记。

4、正式开考前，考生务必将自己的准考证号、科目填涂在答题卡上。

5、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。

6、主观题部分也一并书写在答题纸上，注意用0.5毫米以上黑色签字笔书写。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．复数等于（　　）

A．iB．﹣i

C．D．

2．A={x|y=lg（x²+3x﹣4）}，，则A∩B=（　　）

A．（0，2] B．（1，2] C．[2，4）D（﹣4，0）

3．已知等比数列{an}中，公比，则a₄=（　　）

A．1 B．2C．4D．8

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积

为（　　）

A．B．

C．D．

5．已知，且，则sin2α的值为（　　）

A．B．C．D．

6．下列命题中真命题的个数是（　　）

①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x³﹣x²+1≤0”的否定是“”；③若，则￢p是q的充分不必要条件．

A．0B．1C．2D．3

7．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（　　）

A．4B．5C．6D．7

8.在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（　　）

A．180种B．220种C．260种D．320种

9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）

A．y=sin（4x+）B．y=sin（4x+）

C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）

10．设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）

A．4B．C。D．

11．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2）；②函数y=f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）=e^x﹣，a=f（﹣5），b=f（）．c=f（），则a，b，c的大小关系是（　 ）

A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜a＜bD．b＜a＜c

12．三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（　　）

A．2B．3C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.

13．已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程为　 ．

14．向量、满足||=1，||=2，|2+|=2，则在方向上的投影是　 ．

15．设（1﹣x）（2x+1）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁶，则a₂等于　 　．

16．数列{an}中， a₁=1，且a_n+1﹣a_n=n+1（n∈N^*），则数列{}的前10项的和为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）已知是公差为正数的等差数列，首项，前n项和为S_n，数列是等比数列，首项（1）求的通项公式.

（2）令的前n项和T_n.

18．（本小题满分12分）16．已知函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x（|φ|＜）的图象过点（，）．（1）求函数f（x）在[0，]的最小值；

（2）设角C为锐角，△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，且△ABC的面积为2，a+b=6，求边c的长．

19．（本小题满分12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．

20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD=，PB=

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，

求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

21．（本小题满分12分）函数f（x）=lnx++ax（a∈R），g（x）=e^x+．（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）若对于∀x＞0，总有f（x）≤g（x）．求实数a的取值范围；

请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.（满分10分）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

23．[选修4-5：不等式选讲]设函数，x∈R．（Ⅰ）当时，求不等式f（x）≥4的解集；Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

1-12 ABDAC CDCAD AB

13.（x﹣2）²+（y﹣2）²=814.-1 15 .3016.

17解：（1）设公差为，公比为，依题意可得：

………………2分

------------------12

18. 解：函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x，

∵图象过点（，）．

∴=sin（2×+φ）+2sin²，

得：sin（+φ）=1，

∴+φ=，k∈Z，

∵|φ|＜，

∴φ=．

∴函数f（x）=sin（2x+）+2sin²x=sin2x+cos2x+1﹣cos2x=sin（2x﹣）+1．

∵x∈[0，]，

∴2x﹣∈[，]．

∴当2x﹣=时，f（x）取得最小值为．----------------6分

（2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+1．

其对称轴方程为：2x﹣=，k∈Z，

∵x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，即2C﹣=，C为锐角，k∈Z，

∴C=．

又∵△ABC的面积为2=absinC，

可得ab=8，a+b=6．

由余弦定理：c²=a²+b²﹣2abcosC，得：c²=（a+b）²﹣2ab﹣2abcosC=12

∴c=2．----------------------------12分

19解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=，P（AB）=．…

∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=．…-----------------4分

（2）X的可能取值为：0，10，20，30，

则P（X=0）==，P（X=10）=+=，

P（X=20）==，

P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…

∴X的分布列为

X	0	10	20	30
p

…

∴X的数学期望为EX=0×+10×+20×+30×=---------------12分

20（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB，

∵PAD是边长为2的正三角形，∴，

∵，

∴OB²+OP²=PB²，则OP⊥OB，

∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，

又OP⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；----------5分

（Ⅱ）解：连接AC交BD于E，连接QE，

∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，

又E为AC的中点，∴Q为PC的中点．

以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1，）．

．

设平面BDQ的一个法向量为．

由，得，取z=2，得．

由图可知，平面ABD的一个法向量．

∴cos＜＞==．

∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为．--------------12分

21.解：（1）由题意得f'（x）=x++a=，

当a²﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f'（x）≥0恒成立，无极值点；

当a²﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2时，

①a＜﹣2时，设方程x²+ax+1=0两个不同实根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，

则x₁+x₂=﹣a＞0，x₁x₂=1＞0，故0＜x₁＜x₂，

∴x₁，x₂是函数的两个极值点．

②a＞2时，设方程x²+ax+1=0两个不同实根为x₁，x₂，

则x₁+x₂=﹣a＜0，x₁x₂=1＞0，故x₁＜0，x₂＜0，

故函数没有极值点．

综上，当a＜﹣2时，函数有两个极值点；

当a≥﹣2时，函数没有极值点．--------------6分

（2）（i）f（x）≤g（x）等价于e^x﹣lnx+x²≥ax，

由x＞0，即a≤对于∀x＞0恒成立，

设φ（x）=（x＞0），

φ′（x）=，

∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，

x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，

∴φ（x）≥φ（1）=e+1，

∴a≤e+1．-------------------------12分

22.解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．

由可得直线l的方程为．

所以，圆C的圆心到直线l的距离为． ---------5分 …

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．

由于△=．故可设t₁、t₂是上述方程的两个实根，

所以，又直线l过点，

故由上式及t的几何意义得----10分 …

23. 解：（Ⅰ）=

由f（x）≥4得或，解得x≤﹣1或x≥3，

所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}；--------------5分

（Ⅱ）由绝对值的性质得，

所以f（x）最小值为，从而，解得，因此a的最大值为．

-------------------10分