河北省定兴三中2015-2016学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

2015—2016学年第二学期期中考试

高二数学（理）试卷

（考试时间：120分钟；分值：150分；命题人： 王学民）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.是虚数单位，复数（ ）

A．B．C．D．

2．的展开式中的常数项为（ ）

A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6

3.若平面α、β的法向量分别为＝(2,3,5)，＝(－3,1，－4)，则( )

A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均有可能

4.已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有（　　）个．

A．2B．6C．4D．8

5.定积分的值为（ ）

A．B．C．D．

6.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（　　）

A．76B．80C．86D．92

7.对于不等式＜n+1（n∈N^*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：

（1）当n=1时，＜1+1，不等式成立．

（2）假设当n=k（k∈N^*）时，不等式成立，即＜k+1，则当n=k+1时，=＜==（k+1）+1，∴当n=k+1时，不等式成立．

则上述证法（ ）

A．过程全部正确B．n=1验得不正确

C．归纳假设不正确D．从n=k到n=k+1的推理不正确

8.已知两半平面的法向量分别为＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，则两半平面所成的二面角的大小为(　 　)

A．45° B．135° C．45°或135° D．90°

9.在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．

10.如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的正方形，若∠A₁AB=∠A₁AD=60°，且A₁A=3，则A₁C的长为（ ）

A．B．C．D．

11.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　 ）

A．

B．

C．

D．

12.已知定义在实数集R上的函数满足，且导函数，则不等式的解集为 （ ）

1. B.C.D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上。

13. 复数z=（其中为虚数单位）的虚部为 ．

14．直线与曲线相切于点A（1，3），则的值为 ．

15．已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁，则异面直线A₁B与B₁C所成的角为_________.

16.在x=2处有极大值，则常数c的值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”

根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？

附：K²=n=a+b+c+d

18.（12分）证明：，其中.

19．（12分）甲、乙两位同学从共所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但甲同学特别喜欢高校，他除选高校外，再在余下的所中随机选1所；同学乙对所高校没有偏爱，在所高校中随机选2所． 若甲同学未选中高校且乙选中高校的概率为．

（I）求自主招生的高校数；

（II）记为甲、乙两名同学中未参加高校自主招生考试的人数，求的分布列和数学期望．

20．（12分）在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且为的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．

（I）求证：平面PAB丄平面PCD；

（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

22.（12分）已知函数，.

1. 若曲线与曲线在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求的值；
2. 当时，求函数的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

1. 选择题
   1-12 BACDA BDCBA CD
2. 填空题
   13. 14. 3 15. 16. 6
3. 解答题

17. 解：（1）完成下面的2×2列联表如下

…………5分

≈8.249

∵8.249＞6. 635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.…………10分

18.解:（1）构造函数，

，当，得下表

	+	0	—
	单调递增	极大值	单调递减

总有.…………6分

（2）构造函数，

当，当单调递减；

当单调递增；极小值=，

总有即：.

综上（1）（2）不等式成立..…………12分

19.解：（1）由已知得，甲同学选中高校的概率为，

乙同学选中高校的概率为，

∴甲同学未选中高校且乙同学选中高校的概率为

，整理得，，

∵，解得，故自主招生的高校数为5所．.…………6分

（2）的所有可能取值为0,1,2

，，

，

则的分布列为：

X	0	1	2
P

∴的数学期望．.…………12分

1. 解：（1）取的中点，连接，，
   ∵为的中点，∴且，
   ∵底面为直角梯形，，，
   ∴且，∴四边形是平行四边形，
   ∴，又∵平面，平面，∴平面；…5分
   （2）建立直角坐标系如图所示，设直线与平面所成角大小为，
   则，，，，
   ∴，，
   ，设平面的法向量为，则有，故不妨，则，
   ∴直线与平面所成角的正弦值为．.…………12分
   21.解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
   又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．.…………4分
   （Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．
   设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
   则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
   由PA⊥PD，=（0，﹣a，﹣b），=（0，2﹣a，﹣b），得﹣a（2﹣a）+b²=0．①
   因为PB=PC，所以2²+a²+b²=2²+（2﹣a）²+b²．② 由①，②得a=1，b=1．.…………6分
   由（Ⅰ）知，=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．
   设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，
   又=（2，﹣1，﹣1），=（0，2，0），所以取=（1，0，2）．…8分
   因为cosá＜，＞ñ=﹣，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，
   所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．．.…………12分
   22.解： (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x²＋b.
   因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.．…………3分
2. 设h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a²时，h(x)＝x³＋ax²＋a²x＋1，h′(x)＝3x²＋2ax＋a².

令h′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝－.．…………5分

a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：

所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(－，＋∞)；单调递减区间为(－，－)．… 7分

当－≥－1，即0<a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a².

当－<－1，且－≥－1，即2<a≤6时，函数h(x)在区间(－∞，－)上单调递增，在区间(－，－1]上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－)＝1.

当－<－1，即a>6时，函数h(x)在区间(－∞，－)上单调递增，在区间(－，－)上单调递减，在区间(－，－1]上单调递增．又因h(－)－h(－1)＝1－a＋a²＝(a－2)²>0，

所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－)＝1.．…………12分