河北省广平县第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

河北省广平一中2016--2017学年第一学期高二年级期中数学试卷（理）

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（　　）
A.对任意实数x，都有x＞1  B.不存在实数x，使x≤1   C.对任意实数x，都有x≤1  D.存在实数x，使x≤1

2.在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）
A.       B.       C.或       D.以上都不对

3.在等比数列{a_n}中，公比q=-2，且a₃a₇=4a₄，则a₈等于（　　）
A.16           B.32           C.-16           D.-32

4.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”
A.3            B.4            C.5            D.6

5.设变量x、y满足约束条件，则z=3^2x-y的最大值为（　　）
A.            B.            C.3            D.9
6.在△ABC中，条件甲：A＜B，条件乙：cos²A＞cos²B，则甲是乙的（　　）
A.充分非必要条件     B.必要非充分条件     C.既非充分又非必要条件  D.充要条件

7.椭圆+=1的离心率e=，则a的值为（　　）
A.10或- B.4或- C.4或- D.10或-

8.在下列函数中，最小值是2的是（　　）
A.        B.        C.        D.y=5^x+5-^x

9.数列{a_n}是等差数列，若a₁+2，a₅+5，a₉+8 构成公比为q的等比数列，则q=（　　）
A.-1           B.1            C.±1           D.2

10.不等式的解集是（　　）
A.{x|x＞1}        B.{x|x≥1}        C.{x|x≥1或x=-2}     D.{x|x≥-2或x=1}

11.数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则等于（　　）
A. B. C. D.

12.已知椭圆E：+=1，过焦点（0，2）的直线l与椭圆交于M，N两点，点A坐标为（0，），•=0，则直线l斜率为（　　）
A.± B.± C. D.±

资*源%库

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.椭圆+=1的一个焦点是（-4，0），则其离心率是 ______ ．

14.在各项为正数的等比数列{a_n}中，若a₆=a₅+2a₄，则公比q= ______ ．

15.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F₁（-2，0），点B（2，）在椭圆C上，则椭圆C的方程为 ______ ．

16.已知函数f（x）=x^a的图象过点 （4，2），令a_n=，n∈N^*，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₉₉= ______ ．

$来&源：

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.求下列关于x的不等式的解集：
（1）-x²+7x＞6；
（2）3x²+4x+2＞0．

18.锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=csinC．
（1）求cosC；
（2）若a=6，b=8，求边c的长．

19.已知椭圆+=1（a＞b＞0），过点A（b，0），B（0，-a）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（0，1）与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）两点，且x₁=-2x₂，求直线EF的方程．

20.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2，求边长c的最小值．

21.已知数列{a_n}的前n项和S_n=k（2ⁿ-1），且a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

22.已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
(Ⅰ)求椭圆M的方程；
(Ⅱ)直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB(O为原点)面积的最大值．

$来&源：广平一中2016-2017学年高二数学试题（理科）

答案和解析

【答案】
13.
14.2
15.
16.9
17.解：（1）∵-x²+7x＞6，
∴-x²+7x-6＞0，
∴x²-7x+6＜0，
∴（x-1）（x-6）＜0，
解得1＜x＜6，
即不等式的解集是{x|1＜x＜6}；
（2）∵△=16-4×3×2=-8＜0，a=3＞0，
∴不等式的解集是R．
18.解：（1）∵acosB+bcosA=csinC，
∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sinCsinC，
则sin（A+B）=sinCsinC，
由sin（A+B）=sinC＞0得，sinC=，
∵C是锐角，∴cosC==；
（2）∵a=6，b=8，cosC=，
∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC
=36+64-2×6×=36，
解得c=6．
19.解：（1）过点A（b，0），B（0，-a）的直线倾斜角为，
可得k_AB==tan=，
即有直线AB的方程为y=x-a，
原点到该直线的距离为，可得=，
解得a=，b=1，
则椭圆方程为+x²=1；
（2）设直线EF的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，可得
（k²+3）x²+2kx-2=0，△=4k²+8（k²+3）＞0恒成立，
由E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-，x₁x₂=-，又x₁=-2x₂，
即有x₂=，x₁=-，
可得-=-，
解得k=1（-1舍去）．
则直线EF的方程为y=x+1．
20.解：（Ⅰ）由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴sinC=2sinCcosC，
∴cosC=，
故C=60°；
（Ⅱ）由已知S=absinC=ab=2，
所以ab=8，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²≥2ab-2abcosC，
∴c²≥8，
∴c≥2，（当且仅当a=b时取等号）．
∴c的最小值为2．
21.解：（1）当n≥2时，，，
∴．
当n=1时，，
综上所述，…（6分）
（2）由（1）知，，则①②
①-②得：，， ， …（12分）
22.解：(Ⅰ)因为椭圆+=1(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，
∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y²=1…4分
(Ⅱ)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，因为AB的垂直平分线经过点(0，-)，显然直线AB有斜率，
当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x₁=-x₂，y₁=y₂，
所以S_△AOB=|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=|x₁|•==，
∵≤=，
∴S_△AOB≤，当且仅不当|x₁|=时，S_△AOB取得最大值为…7分
当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，
所以，代入得到(3k²+1)x²+6ktx+3t²-3=0，
当△=4(9k²+3-3t²)＞0，即3k²+1＞t²①，方程有两个不同的实数解；
又x₁+x₂=，=…8分
所以=，又=-，化简得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原点到直线的距离为d=，
|AB|=|x₁-x₂|=•，
所以S_△AOB=|AB||d|=••，
化简得：S_△AOB=…10分
∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S_△AOB取得最大值为．
综上，S_△AOB取得最大值为…12分

$来&源：