河南省许昌市四校2015-2016学年高二上学期第三次联考数学试卷（理）

许昌市四校联考高二上学期第三次考试

数学（理）试卷

时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：本大题12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

（1）命题“如果那么”的逆否命题是（ ）

（A）如果，那么（B）如果，那么

（C）如果，那么（D）如果，那么

（2）“”是“”的（ ）

（A）充分不必要的条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

（3）命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（ ）

（A）所有奇数的立方不是奇数

（B）不存在一个奇数，它的立方是偶数

（C）存在一个奇数，它的立方是偶数

（D）不存在一个奇数，它的立方是奇数

（4）设，则有（ ）

（A）（B）（C）（D）

（5）不等式的解集是（ ）

（A）（B）

（C）（D）

（6）在中，，则一定是（ ）

（A）锐角三角形（B）钝角三角形

（C）等腰三角形（D）等边三角形

（7）已知数列的前项和（），那么（ ）

（A）一定是等差数列

（B）一定是等比数列

（C）或者是等差数列，或者是等比数列

（D）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

（8）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项的和为（ ）

（A）130（B）170（C）210（D）260

（9）若成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数是（ ）

（A）0（B）1（C）2（D）0或2

（10）若双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）

（A）（B）（C）（D）

（11）过点的直线与椭圆交于两点，设线段的中点为

P，若直线的斜率为，直线OP的斜率为，则等于（ ）

（A）－2（B）2（C）（D）

（12）如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是

（ ）

（A）（B）

（C）（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）在中，已知，则边长.

（14）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程

是 .

（15）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一

点，则最大值为 .

（16）已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则的取值

范围是 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）

若满足条件求的最大值和最小值.

（18）（本小题满分12分）

已知常数，解关于的不等式

（19）（本小题满分12分）

某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益.

（20）（本小题满分12分）

已知数列{}的前n项和＝2－，数列{}满足b₁＝1， b₃＋b₇＝18，且＋＝2（n≥2）．

（I）求数列{}和{}的通项公式；

（II）若＝，求数列{}的前n项和．

（21）（本小题满分12分）

已知向量，，函数.

（I）若，求的值；

（II）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是，且满足，求的取值范围.

（22）（本小题满分12分）

已知点，是圆（为圆心）上的动点，的

垂直平分线与交于点.

（I）求动点的轨迹方程；

（II）设直线与的轨迹交于，两点，且以为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：面积的最大值及此时直线的方程.

数学答案

1—5 CBCAB 6—10 DCCAC 11—12 DD

13、或14、 15、6 16、

三、解答题

17、解：目标函数为，可行域如图所示……3分

作出直线，可知，直线经过点B时，Z取得最大值，直线经过点A时，z取得最小值.

解方程组

和

可得点和点.…………………………8分

…………………………9分

.…………………………10分

18、解（1）若，则原不等式为－2，故解集为.

（2）若……………………2分

①当，即时，方程的两根为，

∴原不等式的解集为.

②当时，即时，原不等式的争集为.

③当，即时，原不等式的争集为.…………6分

（3）若.

①当，即，原不等式的解集为或.

②当时，5373时，原不等式化为，

∴原不等式的解集为.

③当，即时，原不等式的解集为R……………………10分

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当原不等式的解集为；

当，原不等式为；

当时，原不等式的解集为或.；

当时，时，原不等式的解集为.

当时，原不等式的解集为R.

19、解：投入B商品的资金为万元（），则投入A商品的资金为万元，并设获得的收益为万元.……………………1分

（1）当时，

，当且仅当，即时取“＝”；…………………………6分

（2）当时,

，当时，取“＝”.

∵，∴最大收益为11万元.…………………………11分

∴该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益.…………………………12分

20、解：⑴由题意， ①

当时，， ②

①-②得， 即 ，--------3分

又，

故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；--------4分

由知，数列是等差数列，设其公差为，

则，所以，；

综上，数列和的通项公式为．--------7分

⑵，

③

， ④

③-④得，--------9分

整理得，

所以．--------12分

21、解：

又均为锐角

的取值范围是：

22、解：（1）由题知（2分）

又

点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，

E的轨迹方程为（4分）

（2）设，PQ的中点为

将直线与联立得

，即①

又

依题意有，整理得② （6分）

由①②可得，

（7分）

设O到直线的距离为，则

（10分）

当时，的面积取最大值1，此时，

直线方程为