湖南省岳阳县一中2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

2017岳阳县一中高二下期中考试试卷数学(理科)

时量：120分钟 分值：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则 （ ）

1. B.C.D.

2．命题的否定为 （ ）

1. ， B.

C.， D.

3．若函数在上既是奇函数，又是增函数，则

的图象是 （ ）

4．设、是两个不同的平面，是一条直线，以下命题：①若，，

则；②若，，则； ③若，，则；④若，

，则；其中正确命题的个数是 （ ）

1. B. C. D.

5．设为实数，直线，，则是的（ ）

1. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6．在区间上任取一数，则的概率是 （ ）

A．B．C.D．

7．已知点在不等式组所表示的平面区域上，点在曲线

上，那么的最小值是 （ ）

A． B．1 C． \ D．

8．若下列程序框图中输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于 ( )

A.720 B.360 C.240 D.120

9．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从

2006名学生中剔除6名，再从2000名学生随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取

的概率分别是 （ ）

A．B．C．D．

10．已知函数，（其中）

的部分图象如图所示．设点是图象上轴右侧的

第一个最高点，，则的面积是（ ）

1. B.

C.D.

11．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，

点E为线段AD的中点，，则λ=（ ）

A．B．C．D．

12．已知函数，把函数的零点按从小

到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ ）

A．B．

C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）$来&源：

13．若，则函数的最大值是

14．在中，，，

，则的长度为_ _

15．一个正三棱柱的正视图和俯视图如图

所示，则这个三棱柱的左视图的面积为

16．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，

当，且时，都有给出下列命题：

①；②直线是函数的图象的一条对称轴；

③函数在上为增函数； ④函数)在上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上)

三、解答题（本大题共6小题，共70分）$来&源：

17．(本小题满分10分)已知实数满足，其中；

实数满足．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数的最大值为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程＝在∈

上有解，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列的前5项积为243，且为和的等

差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足（且），且，求数列的前项和．

20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面$来&源：面，、分别为棱、的中点.

⑴求证：∥平面；

⑵求三棱锥的体积；

⑶求二面角的正切值。

$来&源：

21．（本小题满分12分）某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人。为了

研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计

了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：

分别加以统计，得到如图所示的频率

分布直方图。

（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；

（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2

列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? 附表：

,其中为样本容量

22．（本小题满分12分）已知函数满足以下条件：①定义在正实数集上；

②；③对任意实数，都有。

（1）求,的值；

（2）求证：对于任意，都有;

（3）若不等式,对恒成立，

求实数的取值范围。

1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．C 11．B 12．C

13．514．15．16．①②④

17．（1）；（2）．

解析：（1）对由得，因为，

所以

当时，解得，即为真时，实数的取值范围是．

又为真时实数的取值范围是若为真，则真且真，

所以实数的取值范围是

（2）是的必要不充分条件 ，即，且，

设，则

又；

所以有解得，所以实数的取值范围是

18．（1）（2）-3≤m≤

解析：（1）

，

由，解得，

所以函数的单调递增区间

（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，

（ 或写成）

当时，即时,

，取最大值; 当时，

即时,，取最小值-3．

方程＝在∈上有解，即.

19．（1）（2）

解析：（1）由前5项积为243得：，设等比数列的公比为，

由为和的等差中项得：，由公比不为1，

解得：，所以．

（2）由，得

，所以所以数列，

所以它的前项和

所以．

20．解析：(1)略 (2) (3)

⑴取中点，连结、

∵为的中位线，

∴∥且

又∥且，∴∥且，

∴是平行四边形，∴∥又，，

∴∥面

⑵取中点，连结

∵，为正三角形，∴，且

又为面斜线，为中点，∴到面距离，

故

⑶连交于，易证得≌

∴，∴，∴

连，由三垂线定理可知，是二面角的平面角，

在中，，∴，

∴，即二面角的正切值为

21．(1),（Ⅱ）见解析.

解析：(1)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于

110分的学生中，男生有60×0.05=3（人），记为A₁，A₂，A₃；

女生有40×0.05=2（人），记为B₁，B₂； ………………2分

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：

（A₁，A₂），（A₁， A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），

（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂）；

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：

（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），

（A₂，B_2），（A₃，B₁），（A₃，B₂）； 故所求的概率为P=．

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…7分

据此可得2×2列联表如下：

（9分）所以得；

因为1.79＜2.706，

所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”

22．解析：（1）令，得：

,,,

（2）证明：设，均为正数 ,则存在使得，

（3）先证在正实数集上单调递减：

设，且,令：，（），，，

则由（2）知

-==，则函数在上是减函数.再求取值范围：

因为且，又，在区间上有定义

定义在正实数集上可得：

，对恒成立，

……（1）

,对恒成立，恒成立（2）由（2）中令,得：，，则原不等式

可整理为：

上单调递减

直线在

左侧，令在上为减函数，

需要最大值为，即，

（3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范围是