贵州省思南中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

思南中学2016——2017学年度第二学期期末考试高二年级数学科试题（理）

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知集合，集合，则有（ ）

1. B.C.D.

2.已知，是虚数单位，是纯虚数，则等于（ ）

1. B.C.D.
   3．展开式中的常数项为(　　)．
   A．80 B．－80 C．40 D．－4
   4. 若变量，满足约束条件 则的最大值为（ ）
   A．10 B．8 C．5 D．2
   5.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
   
   1. 7 B. 9 C. 10 D. 11
      6. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
      A．8– B． 8– C．8–π D． 8–2π
      7.在下列区间中，函数f(x)=e^x+4x-3的零点所在的区间（ ）
      A．(–，0 ) B．(0，)C．(，)D．(，)
      8.等比数列中，，则数列的前8项和等于（ ）
      A．6 B．5 C．4 D．3
      9.偶函数满足,且在时,,，则函数与图象交点的个数是( )
      A．1 B．2 C．3 D．4
      10. 已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（ ）
      ABCD
      11．已知直三棱柱ABC­A₁B₁C₁的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA₁＝12，则球O的半径为（ ）
      1. B．2 C. D．3

12.设函数是函数f(x)的导函数，x∈R时，有+，则时，结论正确的是

1. 填空题：共4小题，每小题5分.
   13.函数的部分图象如图所示，则.
   14.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为
   15．已知A，B，C为圆O上的三点，若=(+)，则与的夹角为　．
   16.数列满足，则的前项和为
   三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
   17.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
   1. 求角A的大小；
   2. 若△ABC的面积S=5，b＝5，求sin Bsin C的值．

18.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；

(2)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．

1. （本小题满分12分）

如图，曲线由上半椭圆和

部分抛物线连接而成，的公

共点为，其中的离心率为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），

若，求直线的方程.

21.(本小题满分12分)已知函数．

（1）试判断函数的单调性；

（2）设，求在上的最大值；

（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．

22.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线L的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（θ为参数）．

　（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线L的位置关系；

　（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值.

贵州省思南中学高二下学期期末考试数学试卷答案

一、选择题

1. 填空题

1. 14、15、16、1830

1. 解答题

17、解：(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos²A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，

解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝.

(2)由S＝bcsin A＝bc=5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.

由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a=.

又由正弦定理得sin Bsin C＝bsinA/a=bcsin²A/a²=5/7.

18、解析1：（1）因为∠DAB=60⁰，AB=2AD， 由余弦定理得BD=AD 从而BD²+AD²= AB²，故BD⊥AD，所以BD ⊥平面PAD. 故 PA⊥BD

（2）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0)，B(0,,0)，C(-1,,0)，P(0,0,1)。=(-,,0)，=(0,,-1)，=(-1，0，0) ，设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则, 即因此可取n=(,1,)

同理可得平面PBC的法向量为m=（0，-1，-），则cos<m,n>=故二面角A-PB-C的余弦值为

19、

解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.

20、

解：（Ⅰ）以题意知，，，

∴，又，解得，

∴，.

（Ⅱ）设直线的方程是，

由方程组，得，

设，则，，

∴，，，∵，∴；

由方程组，得，

设，则，∴，，，

∵，∴，解得，经检验符合题意，

所以直线的方程是.

21.解：（1）函数的定义域是．由已知．令，得．

因为当时，；当时，．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以．

当时，在上单调递减，所以．当，即时，．综上所述，

（3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．

22.解:（1）点P的极坐标为(4，)，则直角坐标为(0,4)，把P(0,4)代入直线L的方程x-y+4=0，

因为0-4+4=0，所以点P在直线L上．

（2）因为点Q是曲线C上的一个动点，则点Q的坐标可设为Q(cosα,sinα)．

点Q到直线L的距离为d==cos(α+)+2

所以当cos(α+)=-1时，d取得最小值．