重庆市部分区县2014-2015学年高二下学期期末联考数学（理）试卷

重庆市部分区县2014-2015学年度下期期末联考

高二（理科）数学试题卷

注意事项：

1．高二（理科）数学试题卷共页．满分分．考试时间分钟．

2．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．

3．回答第Ⅰ卷选时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

4．回答第Ⅱ卷选时，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在本试卷上无效．

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）复数的模是

（A）3（B）4（C）5（D）7

（2）函数导数是

（A）（B）（C）（D）

（3）已知一段演绎推理：“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，则这段推理的

（A）大前提错误（B）小前提错误（C）结论正确（D）推理形式错误

（4）从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有

（A）12种 （B）24种 （C）36种 （D）48种

（5）为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量的观测值，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过

（A）0.001（B）0.005（C）0.010（D）0.025

	0.40	0.25	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	0.708	1.323	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附表：

（6）已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有

（A）种（B）种（C）种（D）种

（7）若函数没有极值，则实数a的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

（8）若，则

（A）（B）（C）或（D）或

（9）若随机变量，其均值是80，标准差是4，则和的值分别是

（A）100，0.2（B）200，0.4（C）100，0.8（D）200，0.6

（10）下列结论中，正确的是

（A）导数为零的点一定是极值点

（B）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值

（C）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值

（D）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值

（11）一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则

（A）（B）（C）（D）

（12）已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知，若，i是虚数单位，则____________．

（14）若函数的导函数为，则_____________．

（15）5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m种，则m的值为_______．

（16）投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.4．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求式子的值．

（18）（本小题满分12分）

在数列中，，且．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）猜想数列的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.

（19）（本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．

（20）（本小题满分12分）

在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年 份	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.7	3.6	3.3	4.6	5.4	5.7	6.2

对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系．

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）预测该地区2016年的居民人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

（21）（本小题满分12分）

某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X.

（Ⅰ）求X的所有可能取的值；

（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．

（22）（本小题满分10分）

已知函数.

（Ⅰ）求此函数的单调区间；

（Ⅱ）设．是否存在直线（）与函数的图象相切？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

---

重庆市部分区县2014—2015学年度下期期末联考

高二（理科）数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）C（2）A（3）A（4）B（5）D（6）C

（7）A（8）B（9）C（10）B（11）D（12）D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）（14）（15）72（16）

三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．

（17）（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）由二项式定理，得

的展开式的通项是， …………………………………………………（2分）

令，3，得，．……………………………………（4分）

∵，

∴，．………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）∵，

∴令，得．……………………………………………（8分）

令，得．………………………………………（10分）

∴．

∴．………………………………………………………………（12分）

（18）（本题满分12分）

解：（Ⅰ）∵，且，∴，

，．……………………………………………（6分）

（Ⅱ）猜想数列的通项公式为（）．………………………………………（9分）

用数学归纳法证明如下：

①当时，左边，右边，因此，左边=右边．

所以，当时，猜想成立．…………………………………………………………………（10分）

②假设（，）时，猜想成立，即，

那么时，.

所以，当时，猜想成立．………………………………………………………………（11分）

根据①和②，可知猜想成立．……………………………………………………………………（12分）

（19）（本题满分12分）

解：（Ⅰ）∵，∴．…………………………………（3分）

∵是函数的一个极值点，

∴．∴．∴．………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），知．∴．……………………………………（7分）

∴．……………………………………………………………………………（8分）

令，得，解之，得，．………………………………（9分）

x				3
	+	0	-	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

列表如下：

……………………………………………………………………………………………（10分）

∴当时，取得极大值；当时，取得极小值．

而，，，且．

∴函数在上的最大值为，最小值为．……………………………………（12分）

（20）（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知表格的数据，得，………………………………（2分）

，…………………………………………………（3分）

，…………………………………………………………………………（4分）

，……………………………………（5分）

∴．…………………………………………………………………………………（6分）

∴．…………………………………………………………………………（7分）

∴y关于t的线性回归方程是．……………………………………………………（8分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），知y关于t的线性回归方程是．

将2016年的年份代号代入前面的回归方程，得．

故预测该地区2016年的居民人均收入为千元．…………………………………………（12分）

（21）（本题满分12分）

解：（Ⅰ）X的所有可能取的值是2，3，4．…………………………………………………………（3分）

（Ⅱ）[设表示事件“参加科目A的第（，）次考试的成绩为合格”，表示事件“参加科目B的第（，）次考试的成绩为合格”，且，相互独立（，），那么，．…………………………………………………………………………………（5分）

，…………………………（6分）

，……………………………（7分）

．………………………（8分）]

（说明：上面中括号内的解答，仅供参考，其分值可累加到下面的分布列中．）

∴X的分布列为：

X	2	3	4
p

…………………………………………………………………………………………………（9分）

∴．

故X的数学期望为．……………………………………………………………………………（12分）

（22）（本题满分10分）

解：（Ⅰ）∵，

∴．………………………………………（2分）

令，得，解之，得；……………………………………（3分）

令，得，解之，得，或．…………………………（4分）

∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是和．

………………………………………………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）∵，，

∴．

∴．……………………………………………………………………………………（6分）

假设存直线与函数的图象相切于点（），

则这条直线可以写成．………………………………………………（7分）

∵，，

∴．………………………………………………………………………（8分）

即．

∴…………………………………………………………………………………（9分）

解之，得

所以存在直线与函数的图象相切，的值是．………………………………（10分）

注：解答题的其它解法参照本参考答案给分．