上海市嘉定区2016届高三第一次质量调研数学（文）试卷

上海市嘉定区

2016届高三第一次质量调研

数学（文）试题

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．____________．

2．设集合，，则__________．

3．若函数（且）的反函数的图像过点，则_________．

4．已知一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．

5．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成的

角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．

6．若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为______________．

7．已知，则____________．

8．某程序框图如图所示，则该程序运行后

输出的值是_____________．

9．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值

为___________．

10．从名男同学，名女同学中任选人参加知识竞赛，则选到的名同学中至少有名

男同学的概率是____________．

11．设，，，则_________时，点，，

共线．

12．已知，若，则_______．

13．设数列满足，，记数列前项的积为，则的值为

__________．

14．对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的

值域也是，则称函数在定义域上封闭．如果函数在

上封闭，那么_____________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“函数为偶函数”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．下列四个命题：

①任意两条直线都可以确定一个平面；

②若两个平面有个不同的公共点，则这两个平面重合；

③直线，，，若与共面，与共面，则与共面；

④若直线上有一点在平面外，则在平面外．

其中错误命题的个数是（ ）

A．B．C．D．

17．若椭圆的焦距为，则的值是（ ）

A．B．C．D．

18．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等

于（ ）

A．B．C．D．

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知，设，，记函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）设△的角，，所对的边分别为，，，若，，，求△的面积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设函数（且）是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）设，试判断函数在上的单调性，并解关于的不等式．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知抛物线，准线方程为，直线过定点（）且与抛物线交于、两点，为坐标原点．

（1）求抛物线的方程；

（2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

（3）当时，设，记，求的解析式．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设复数，其中，，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．

（1）求复数，，的值；

（2）证明：当（）时，∥；

（3）求数列的前项之和．

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷（文）参考答案及评分标准

一．填空题（每题4分，满分56分）

1．2．（或） 3．4．

5．6．7．8．

9．10．11．或

12．13．14．

二．选择题（每题5分，满分20分）

15．B 16．C 17．A 18．D

三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数

19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．

（1）如图③，当倾斜至上液面经过点时，容器内溶液恰好不会溢出，

此时最大． ………………………………………………………………（2分）

解法一：此时，梯形的面积等于（）， …………（3分）

因为，所以，，

即，解得，． ………………（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是． ……………（6分）

解法二：此时，△的面积等于图①中没有液体部分的面积，

即（）， ………………………………………………（3分）

因为，所以，即，

解得，． …………………………………………（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是． …………（6分）

（2）如图④，当时，设上液面为，因为，

所以点在线段上， …………………………………………（1分）

此时，，

（）， …………………………（3分）

剩余溶液的体积为（）， …………………（4分）

由题意，原来溶液的体积为，

因为，所以倒出的溶液不满． ……（5分）

所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．…（6分）

20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．

（1）

． ……………………………………（3分）

所以的最小正周期是． ………………………（4分）

由，， ……………………（6分）

得函数的单调递增区间是（）． ……（7分）

（2）由，得， …………………………（1分）

因为，所以，

所以，． ………………………………（3分）

在△中，由余弦定理， …………（4分）

得，即， ………………（5分）

所以△的面积． …………（7分）

21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．

（1）解法一：函数的定义域为，因为是奇函数，所以，．…………………………………………………………（3分）

当时，，，是奇函数．

所以，所求的值为． …………………………………………………………（6分）

解法二：函数的定义域为，

由题意，对任意，， …………………………………（2分）

即，， ………………………（4分）

因为，所以，． ……………………………………………（6分）

（2）由（1），，任取，，且，

则，

因为，，所以，又，所以，

即，所以函数在上是单调递增函数． ………………（4分）

（注：也可以这样解答：，在上是增函数，在上是减函数，则在上是增函数，所以在上是增函数．）

由，得，即， ……（6分）

所以，即，解得． …………（8分）

22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．

（1）由题意，，， ………………………………………………（2分）

故抛物线方程为． …………………………………………………………（4分）

（2）设，，直线，则

…………………………（2分）

于是，， ……（4分）

因为点是定点，所以是定值，所以是定值，此定值为．…（6分）

（3），设，则，

，故， ………………（2分）

因为点在抛物线上，所以，得．……（4分）

又为抛物线的焦点，故

，即（）． ………………………………（6分）

23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．

（1），，．…………（4分）

（算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）

（2）由已知，得， ………………（1分）

当时，， ………………………（3分）

令，则，

即则存在非零实数（），使得． …………（5分）

所以，当（）时，∥． ……………………（6分）

（3）因为，故，， …………（2分）

所以， …………………………………………………………（3分）

又，，，， …………………………（4分）

， ……………………………………（7分）

所以数列的前项之和为． ……………………………………（8分）