上海市金山中学2016届高三上学期期中考试数学试卷

金山中学2015学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷参考答案

（考试时间：120分钟　满分：150分　命题人：陈繁球　审核人：鲁丹）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知全集，，且，则实数________。3

2．若，则关于的不等式的解集是_________________。

3．已知命题的否命题是“若，则”，写出命题的逆否命题是

__________________________________。若，则。

4．已知幂函数过点，则的反函数为____________。

5．已知，则_____________。0

6．在平面直角坐标系中，以轴为始边作锐角，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为____________。-

7．对于集合，定义函数；对于两个集合、，定义集合

。已知，，则用列举法写出集合的结果为____________。

8．要得到函数的图像，可以由函数的图像向左平移得到，则平移的最短长度为______________。

9．若函数，则集合中的元素个数是_____。5

10．已知分别为三个内角的对边，，且

，则面积的最大值为____________。

11．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________。

12．已知不等式组有唯一解，则实数_______。

13．求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递减，且，所以原方程有唯一解。类比上述解题思路，方程的解集为____________。

14．已知函数没有零点，则的取值范围是__。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 （ D ）

（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形

16．若和均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ A ）

（A）（B）

（C）（D）

17．在中，角的对边分别是，则是的 （ C ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分且必要条件 （D）不充分也不必要条件

18．给出下列六个命题：

（1）若，则函数的图像关于直线对称。

（2）与的图像关于直线对称。

（3）的反函数与是相同的函数。

（4）无最大值也无最小值。

（5）的周期为。

（6）有对称轴两条，对称中心三个。

则正确命题的个数是 （ A ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知不等式的解集为。

（1）求的值；

（2）若在上递增，求实数a的取值范围。

解：（1）由条件得：，所以。

（2）因为在上递增， 所以≥1，a≥2。

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

设全集，关于的不等式（）的解集为。

（1）求集合；

（2）设集合，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围。

解：（1）由可以得到：。

当时，解集是；当时，解集是。

（2）(i)当时，，不合题意；

(ii)当时，。

因，

由，得，即，所以。

当有3个元素时，就满足可以得到。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

已知函数。

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若存在满足，求实数的取值范围。

[解]（1）

，函数的最小正周期。

由（），得（），

单调递增区间为（）。

（2）当时，，6分

。

存在满足的实数的取值范围为。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。

设函数，函数，，其中为常数，且。令函数为函数与的积。

（1）求函数的表达式，并求其定义域；

（2）当时，求函数的值域；

（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：（1）由条件，函数，因为的定义域为，故的定义域为。

（2）令，则有，得。当时，。

所以时，递减，于是函数单调递增。所以，。

（3）假设存在这样的自然数，满足条件。令，代换可得。

因为的定义域为，则有。

要满足值域为，则要满足。

由于当且仅当等号成立，此时恰好取得最大值，则由，

故。

又在区间上是减函数，在区间上是增函数，

由于，。则有，由于，得。

故满足条件的所有自然数的集合为。

23．（本题满分18分）第1小题满分为4分，第2小题满分为7分，第3小题满分为7分。

已知函数。

（1）设，判断函数在上的单调性，并加以证明；

（2）设且时，的定义域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围。

解：（1）设，则。

，，。

，即

∴函数在上的单调递增。

（2）由⑴及的定义域和值域都是，得。

因此是方程的两个不相等的正数根。

等价于方程有两个不等的正数根，

即：。

，

，时，。

（3），则不等式对恒成立，

即，∴，对恒成立。

令，，

易知：在递增，同理在递减。

。

。