云南省昆明一中2018届高三考前适应性训练（第八次月考）数学理

云南省昆明第一中学2018届高三第八次月考

理 科 数 学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则集合与的关系是（ ）

A．B．C．D．

2.在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）

A．B．C．D．

3.某班有50人，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知，估计该班本次考试学生数学成绩在分以上的有（ ）

A．人 B．人 C．人 D．人

4.展开式中的系数为（ ）

A．B．C.D．

5.已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为（ ）

A．B．C.D．

6.已知函数的部分图像如图所示，若图中在点处取得极大值，在点处取得极小值，且四边形的面积为，则的值是（ ）

A．B．C.D．

7.已知函数，函数，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的值为的函数值的概率为（ ）

A．B．C.D．

8.设数列的前项和为，若构成等差数列，且，则（ ）

A．B．C.D．

9.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线底面右顶点，点是双曲线上一点，平分，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C.D．

10.过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（ ）

A．B．C.D．

11.已知的面积为，，为线段上一点，，点在线段上的投影分别为，则的面积为（ ）

A．B．C.D．

12.已知定义在上的函数，其中，设两曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则的最大值为（ ）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若满足约束条件，则函数的最小值为 ．

14.在数列中，，且，设数列的前项的积为，则．

15.定义符号函数，若函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ．

16.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是内的动点，若，则点到平面的距离的范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在中，内角的对边分别为，

设平面向量，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求中边上的高.

18.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：

（Ⅰ）根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？

（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.

参考公式：，其中

参考数据：

	0.05	0,。025	0.010	0.005	0.001
	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

19.如图，在三棱锥中，，点为边的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20. 设点在圆上，直线上圆在点处的切线，过点作圆的切线与交于点．

（Ⅰ）证明为定值，并求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线分别交于和，且，求四边形面积的最小值．

21. 已知函数，曲线在点处的切线平行于轴．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，．（为自然对数的底数）

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知=曲直线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于两点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）直线绕点旋转后，与曲线分别交于两点，求．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）若，且恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求的最大值．

试卷答案

一、选择题

1-5:ABDBB 6-10:DCADC 11、12：BA

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.解：（1）因为，

所以，即，

即，

根据正弦定理得，所以，

所以；

（2）由余弦定理，又，所以，

根据△的面积，即， 解得，

所以中边上的高．

18. 解：（1）由列联表可得

所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为使用智能手机对学习有影响．

（2）根据题意，可取的值为，，．

，，

所以的分布列是

的数学期望是．

19. 解：（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面．

（2）由（1）可知，在直角三角形中，，，可得，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系．

可得，，，，

，，，，

设为平面的一个法向量，则

，得，

同理可得，为平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，

，

所以，二面角余弦值为．

20. 解：（1）设与圆相切于点，作轴于点，因为，

所以，

而， ………3分

又因为，所以，动点的轨迹为椭圆，

，，所以点的轨迹的方程为：． ………5分

（2）（ⅰ）当直线的斜率为零或斜率不存在时，四边形的面积为；

（ⅱ）当直线的斜率存在且不为零时，设：，

，，由得：，

由，，，

所以，

而：，所以同理得：，

所以，令（），则，所以，

所以，即时，四边形面积的最小值．

21. 解：（1）因为．

依题意得，即，解得．

所以，

显然在上单调递增且，

故当时，；

当，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：①当时，由（1）知，当，取得最小值．

又的最大值为，

故．

②当时，设，

所以．

令．

则，

当时，，，

所以．

当时，，，

所以．

所以当时，，

故在上单调递增，

又，所以当时，；

当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值，

所以，

即．

22. 解：（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，

曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为．

（2）由得，即直线的斜率为，从而，，

由已知，设，

将代入，得，

同理，将代入，得，

所以，．

23. 解：（1）

，

所以，，只需，

故实数的取值范围为．

（2）由柯西不等式，

，

当且仅当即时，等号成立，故的最大值为．