北京临川学校2016届高三上学期期末考试数学（理）试卷

北京临川学校2015-2016第一学期期末考试

理科数学试题（2016年1月23日）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则复数z=

A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i

2.在单调递减等比数列中，若则

A．2 B．4 C．D．

3.设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则

A.“”为真命题 B.“”为假命题

C.“”为假命题 D.以上都不对

4.一个几何体的三视图如图所示，那么这个

几何体的表面积是

1. 
   B.
   C.
   D.
   5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
   
   A．B．C．D．
   6．已知函数的最小正周期是，若将其图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则函数的图像
   A．关于直线对称 B．关于直线对称
   C．关于点对称 D．关于点对称
   7.设D为ABC所在平面内一点，则
   1. B.
      C.D.
      8.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
      1. B.

C.D.

9.已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，在四边形ABCD的面积为

A．B．C．D．

10..已知函数，若在[1，8]上任取一个实数，则不等式成立的概率是

A．B．C．D．

11.设，满足约束条件若的最大值与最小值的差为7，则实数

A.B.C.D.

12．若函数在区间（）上是增函数，则实数a的取值范围是

A．（-，-1] B．[-1，+） C．（-，0） D．（0，+）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则____.

14.双曲线C：的渐近线方程为_____；设为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且，则____.

15.的展开式中，的系数为_______________

16.已知在直角梯形ABCD中，，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为 ．

北京临川学校2015-2016第一学期期末考试

理科数学试题答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C 11.C 12．A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13.

14.

15.30

16.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由题由题设

两式相减得--------3分

即又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列

又所以-------6分

（Ⅱ）因为

-----------9分

所以

依题意得：---------12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件，

………………1分

由题意，得，

所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为.…4分

（Ⅱ）解：由题意，的所有可能取值为，，，， ……5分

且，，，，………7分

所以的分布列为：

	13	15	16	18

……… 8分

所以. ……9分

（Ⅲ）解：的可能取值为，，. ………12分

19．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）垂直．

证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA平面PAD．AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD平面PAD，所以AE⊥PD．-------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.------6分

又E，F分别为BC，PC的中点，

∴A（0，0，0），B（，-1，0），

C（，1，0），D （0，2，0），P（0，0，2），

E（，0，0），，

所以．

设平面AEF的一法向量为，则，因此，取，则．

因为BD⊥AC，BD⊥ PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量，又，-----10分

所以．

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．----12分

20.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由题意，得，， ………2分

又因为点在椭圆上，

所以， ……………3分

解得，，，

所以椭圆C的方程为. ………5分

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为. …………6分

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.

当直线的斜率存在时，设的方程为. ………7分

由方程组得， …………8分

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即. …………9分

由方程组得， ………10分

则.

设，，则，，

设直线，的斜率分别为，，

所以

， ………11分

将代入上式，得.

要使得为定值，则，即，验证符合题意.

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值.

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足.

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值.

……12分

21．（本小题满分12分）

解析：（1）由题意得定义域； ……1分

当a=-1时，；

时，时，，

的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+）；……5分

①当a=0时，，显然符合题意；……6分

②当a0时，当时；

，不符合题意；……8分

③当a时，则；……9分

对于∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在，使得；即；

∴

；

∵，∴； ∴；

由得，；

设，； ∴函数在上单调递减；

∴；

综上所述，实数a的取值范围是…12分

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.

22.(本题满分10分)选修4-1几何证明选讲

（Ⅰ）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF，∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠FGE，∴EF=EG，∴△EFG为等腰三角形；

(Ⅱ)解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴，，连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM-EG=.

23. (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

解析：（Ⅰ）由曲线得.

C的普通方程为

(Ⅱ)解析：由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程是y＝2，所以所求的点到直线的距离为1.

24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）若a=2，，由解得或，所以原不等式的解集为.

(Ⅱ) 由可得.

当x≥a时，只要恒成立即可，此时只要；

当1≤x<a时，只要恒成立即可，此时只要；

当x<1时，只要恒成立即可，此时只要，综上.