内蒙古阿拉善左旗高级中学2018届高三第一次月考理科数学试卷

阿左旗高级中学2018届高三年级第一次月考数学试卷（理）

命题人：谭建辉

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{2,3,4,6}，N＝{1,4,5}，则(∁_UM)∩N等于(　 )

A．{1,2,4,5,7} B．{1,4,5} C．{1,5} D．{1,4}

2．函数f(x)在x＝x₀处导数存在．若p：f ′(x₀)＝0，q：x＝x₀是f(x)的极值点，则(　 )

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1,2] B．[1,2) C.D.

4.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x²，则f(2 019)＝(　　)

A．－2 B．2 C．－98 D．98

5．若已知函数f(x)＝ , 则的值是(　 　)

A． B．3 C．D．

6．已知a＝，b＝，c＝log_2.11.5，则a，b，c的大小关系是(　 )

A．c<a<bB．c<b<aC．a<b<cD．b<a<c

7．若sinα＝ - ，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　 )

1. B．-C.D．-

8. 的值是(　　)

A．-B．0C.D.

9．若＝，则cos(π-2α)＝(　　)

A．-B.C．-D.

10．函数f(x)＝2x－sinx的零点个数为(　　)

A．1 B．2 C．3D．4

11．函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是(　　)

A　　　　 B　　　 C　　　 　　D

12．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e^x·f(x)>e^x＋1的解集为(　　)

A．{x|x>0} B．{x|x<0}

C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1}

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．sin585°的值为

14．＝

15．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为

16．若不等式2xlnx≥－x²＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)

17．(10分)已知函数f(x)＝x²＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．

1. (12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
   1. 求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x²－1)>－2.

19．(12分)已知cosα＝，，且0<β<α<.

1. 求tan2α的值； (2)求β的值．

20．(12分)已知分别为内角的对边，.

（1）若，求； （2）设，且，求的面积.

21．(12分)已知函数f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

22．(12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1-x)．

1. 讨论f(x)的单调性；
2. 当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．
   

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   阿左旗高级中学2018届高三年级第一次月考
   数 学 试 卷（理）
   一、选择题(每小题5分，共60分)
   1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{2,3,4,6}，N＝{1,4,5}，则(∁_UM)∩N等于(　 )
   A．{1,2,4,5,7} B．{1,4,5} C．{1,5} D．{1,4}
   由已知∁_UM＝{1,5,7}，所以(∁_UM)∩N＝{1,5,7}∩{1,4,5}＝{1,5}．答案：C
   2．函数f(x)在x＝x₀处导数存在．若p：f ′(x₀)＝0，q：x＝x₀是f(x)的极值点，则(　 )
   A．p是q的充分必要条件
   B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
   C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
   D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
   解：由条件知由q可推出p，而由p推不出q.故选C.
   3．函数y＝的定义域是(　　)
   A．[1,2] B．[1,2) C.D.
   解析：由log (2x－1)≥0⇒0<2x－1≤1⇒<x≤1.答案：D
   4.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x²，则f(2 019)＝(　　)
   A．－2 B．2 C．－98 D．98
   答案：A∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1²＝－2，即f(2 019)＝－2.
   5．若已知函数f(x)＝ , 则的值是(　D　)
   A． B．3 C．D．
   6．已知a＝，b＝，c＝log_2.11.5，则a，b，c的大小关系是(　　)
   A．c<a<bB．c<b<aC．a<b<cD．b<a<c
   解析：由log_2.11.5<1<<，得c<a<b.答案：A
   7．若sinα＝- -，且α为第四象限角，则tanα的值等于(　 )
   1. B．-C.D．-

由sinα＝--，且α为第四象限角，则cosα＝＝，则tanα＝＝- -.故选D.

8.的值是(　　)

A．-B．0C.D.

解：原式＝＝＝tan30°＝.

故选D.

9．若＝，则cos(π-2α)＝(　　)

A．-B.C．--D.

解：因为cos＝，所以sinα＝.则cos(π-2α)＝-cos2α＝2sin²α-1＝-.选C.

10．函数f(x)＝2x－sinx的零点个数为(　　)

A．1 B．2 C．3D．4

解析：显然f(x)的一个零点是0，而f′(x)＝2－cosx>0，即f(x)在R上单调递增，因此函数f(x)只有一个零点，故选A.答案：A

11．函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是(　　)

A　　　　 B　　　 C　　　 　　D

答案：D解析：函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝ 当x＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝a^x(x＜0)的图象关于x轴对称，函数递增．故选D.

12．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e^x·f(x)>e^x＋1的解集为(　　)

A．{x|x>0} B．{x|x<0} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1}

解析：构造函数g(x)＝e^x·f(x)－e^x，因为g′(x)＝e^x·f(x)＋e^x·f′(x)－e^x＝e^x[f(x)＋f′(x)]－e^x>e^x－e^x＝0，所以g(x)＝e^x·f(x)－e^x为R上的增函数．因为g(0)＝e⁰·f(0)－e⁰＝1，故原不等式化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案：A

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．sin585°的值为 -

解：sin585°＝sin＝-sin45°＝-

14．＝ 2

15．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为 [3，＋∞)

解析：设t＝x²－2x－3，由t≥0，即x²－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x²－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

16．若不等式2xlnx≥－x²＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：2xlnx≥－x²＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)_min＝h(1)＝4，则a≤h(x)_min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)

17．(10分)已知函数f(x)＝x²＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．

解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，由于x∈[－4,6]，

∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.

18．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x²－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log (－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x²－1)>－2可化为f(|x²－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x²－1|<4，解得－<x<，即不等式的解集为(－，)．

19．(12分)已知cosα＝，cos＝，且0<β<α<.

(1)求tan2α的值；

(2)求β的值．

解：(1)由cosα＝，0<α<，

得sinα＝＝＝，

所以tanα＝＝4，tan2α＝＝-.

(2)由0<β<α<，cos(α-β)＝＞0得0<α-β<，所以sin＝＝，于是cosβ＝cos[α-(α-β)]＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝，所以β＝.

20．(12分)已知分别为内角的对边，.

（1）若，求； （2）设，且，求的面积.

20.解: (1)由正弦定理得，.又，所以，即.

则.

（2）解法一：因为，所以，

即，亦即.又因为在中，，所以，则，得.所以为等腰直角三角形，

得，所以.

解法二：由（1）可知，①因为，所以，②

将②代入①得，则，所以.

21．(12分)已知函数f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解：(1)f′(x)＝e^x(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知，f(x)＝4e^x(x＋1)－x²－4x， f′(x)＝4e^x(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).

令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

22．(12分)已知函数f(x)＝lnx＋a(1-x)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝-a.若a≤0，则f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a>0，则当x∈时，f ′(x)＞0；当x∈时，f ′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．

(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a>0时，f(x)在x＝时取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝-lna＋a-1.因此f>2a-2，等价于lna＋a-1<0.令g(a)＝lna＋a-1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0，1)．