北京市海淀区2015届高三上学期期末练习数学（理）试题

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学（理科）2015.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）抛物线的焦点坐标是（ ）
（A）	（B）	（C）	（D）
（2）如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数（ ）
（A）	（B）	（C）	（D）
（3）当向量，时， 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
（A）	（B）	（C）			（D）
（4）已知直线，. 若，则实数的值是（ ）
（A）	（B）或	（C）或		（D）
（5）设不等式组表示的平面区域为. 则区域上的点到坐标原点的距离的最小值是（ ）
（A）	（B）	（C）			（D）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）
（A）	（B）	（C）				（D）

（7）某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为. 那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（ ）
（A）	（B）	（C）	（D）
（8）已知点在曲线上，过原点，且与轴的另一个交点为.若线段,和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”. 那么下列结论中正确的是（ ）
（A）曲线上不存在“完美点”
（B）曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1
（C）曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于1
（D）曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在的展开式中，常数项是 .（用数字作答）

（10）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______．

（11）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则.

（12）如图所示，是的切线，，，那么_______.

（13）在等比数列中，若，，则公比________；当________时，的前项积最大.

（14）如图所示，在正方体中，点是边的中点. 动点在直线（除两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是 . （写出满足条件的所有顶点）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

函数的部分图象如图所示.

（Ⅰ）写出及图中的值；

（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值.

（16）（本小题满分13分）

某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.

（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；

（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为

	3	2	1	0

求数学期望；

（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小. （只需写出结论）

（17）（本小题满分14分）

如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，，平面平面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设点分别是的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.

（Ⅰ）求的离心率及短轴长；

（Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

（19）（本小题满分13分）

已知函数，.

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）求集合中元素的个数；

（Ⅲ）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）

（20）（本小题满分14分）

已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.

（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；

（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 求证：；

（Ⅲ）对于满足（）的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，使得恒成立，并说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（理）答案及评分参考2015.1

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）B （4）C

（5）B （6）A （7）C （8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）（10）（11）（12）（13）；4 （14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）的值是. ………………2分

的值是. ………………5分

（Ⅱ）由题意可得：.

………………7分

所以

………………8分

. ………………10分

因为，

所以.

所以 当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值. ………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为.

………………4分

（Ⅱ）由题意可得：. ………………6分

因为，

所以. ………………8分

所以. ………………10分

（Ⅲ）. ………………13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）连接.

在正方形中，.

因为 平面平面，平面平面，平面，

所以平面. ………………1分

因为平面，

所以. ………………2分

在菱形中，.

因为平面，平面，，

所以平面. ………………4分

因为平面，

所以. ………………5分

（Ⅱ）∥平面，理由如下： ………………6分

取的中点，连接.

因为是的中点，

所以∥，且.

因为是的中点，

所以.

在正方形中，∥，.

所以∥，且.

所以 四边形为平行四边形.

所以∥. ………………8分

因为平面，平面，

所以∥平面. ………………9分

（Ⅲ）在平面内过点作.

由（Ⅰ）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.

在菱形中，，所以，.

设平面的一个法向量为.

因为即

所以即. ………………11分

由（Ⅰ）可知：是平面的一个法向量. ………………12分

所以.

所以 二面角的余弦值为. ………………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）由得：.

所以 椭圆的短轴长为. ………………2分

因为，

所以，即的离心率为. ………………4分

（Ⅱ）由题意知：，设，则.

………………7分

因为………………9分

， ………………11分

所以.

所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.

………………13分

另解：由题意可设直线的方程为，.

由可得：.

所以，. ………………7分

所以

. ………………9分

因为，

所以. ………………11分

所以.

所以 点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.

………………13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）函数是偶函数，证明如下： ………………1分

对于，则. ………………2分

因为，

所以是偶函数. ………………4分

（Ⅱ）当时，因为，恒成立，

所以 集合中元素的个数为0. ………………5分

当时，令，由，

得.

所以 集合中元素的个数为1. ………………6分

当时，因为，

所以 函数是上的增函数. ………………8分

因为，

所以在上只有一个零点.

由是偶函数可知，集合中元素的个数为2. ………………10分

综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.

（Ⅲ）函数有3个极值点. ………………13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）因为，

所以，，，故.

………………1分
因为，所以.

所以.

所以 当时，取得最大值. ………………3分

（Ⅱ）由的定义可知：.

所以

. ………………6分

设删去的两个数为，则.

由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，，.

所以. ………………7分

所以.

所以，即.

………………8分

（Ⅲ）对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得恒成立，理由如下：

任取集合，由（）可知，中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）.

因为，

所以 存在，使得，即.

由可设集合.

则中一定存在元素使得. 否则，，与是最大数矛盾.

所以，，即.

………………14分