北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学（文）试卷

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2016.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）
（A）	（B）	（C）	（D）

2. 下列函数中，值域为的偶函数是（ ）

（A）（B）（C）（D）

3．设是所在平面内一点，且，则（ ）

（A）（B）（C）（D）

4．设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（ ）

（A）“”为真命题 （B）“”为真命题

（C）“”为真命题 （D）以上都不对

5. 一个几何体的三视图如图所示，那么

这个几何体的表面积是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

6. “”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7. 设，满足约束条件若的最大值与最小值的差为7，则实数（ ）

（A）（B）（C）（D）

8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中处应填（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知复数满足，那么____.

10．若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C的准线方程为____.

11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.

12．已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.

13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则____；ABC的面积为____.

14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时.

该食品在的保鲜时间是_____小时；

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：.

16．（本小题满分13分）

已知函数，.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）若，求函数的单调增区间.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积.

18．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：

甲	6	6	9	9
乙	7	9

（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求的值；

（Ⅱ）如果，，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为，，求的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值.（结论不要求证明）

19．（本小题满分14分）

已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆的相交于不在坐标轴上的两点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

20．（本小题满分13分）

已知函数，直线.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．C 3．D 4．B

5．B 6．B 7．C 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．10．

11. 9 12．

13． 14．4 是

注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，

因为是公差为的等差数列，

所以 ……………… 2分

即 ……………… 3分

解得. ……………… 5 分

所以． ……………… 7分

（Ⅱ）证明：因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ……………… 8分

所以 ……………… 11分

. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

……………… 4分

， ……………… 6分

所以函数的最小正周期. ……………… 8分

（Ⅱ）解：由，， ……………… 9分

得，

所以函数的单调递增区间为，. ……………… 11分

所以当时，的增区间为，. ……………… 13分

（注：或者写成增区间为，. ）

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以. ………………1分

因为侧面底面，且，

所以底面. ………………2分

又因为底面，

所以. ………………3分

又因为，平面，平面，

所以平面. ………………5分

（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面. ………………7分

同理，得平面.

又因为，平面，平面，

所以平面平面. ………………9分

又因为平面，

所以平面. ………………10分

（Ⅲ）解：在中，过作交于点（图略），

由，得，

又因为，

所以， ……………… 12分

因为底面，

所以底面，

所以四棱锥的体积. …… 14分

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得，即. ……………… 2分

因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，

所以中至少有一个小于6， ……………… 4分

又因为，且，

所以，

所以. ……………… 5分

（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足”为事件，

……………… 6分

记甲的4局比赛为，，，，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛

为，，，，各局的得分分别是7，9，6，10.

则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：，

，，，，，，，，，，

，，，，. ……………… 7分

而事件的结果有8种，它们是：，，，，，，，， ……………… 8分

因此事件的概率. ……………… 10分

（Ⅲ）解：的可能取值为，，. ……………… 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，得，， ……………… 2分

又因为点在椭圆上，

所以， ……………… 3分

解得，，，

所以椭圆C的方程为. ……………… 5分

（Ⅱ）证明：当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

易得直线，的斜率之积. …………… 6分

当直线的斜率存在时，设的方程为. …………… 7分

由方程组得， ……………… 8分

因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，

所以，即. ……………… 9分

由方程组得， ……………… 10分

设，，则，， ……………… 11分

所以

， ……………… 13分

将代入上式，

得.

综上，为定值. ……………… 14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：函数定义域为， ……………… 1分

求导，得， ……………… 2分

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

			0
	↗	↘		↗

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

……………… 3分

所以函数有极小值，无极大值． ……………… 4分

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切， ……………… 5分

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，

所以， ……………… 7分

即，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线. ……………… 8分

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得. ……………… 9分

令，则，其中，且.

考察函数，其中，

因为时，

所以函数在单调递增，且. ……………… 11分

而方程中，，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一

根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有

且仅有一个交点. ……………… 13分