吉林省舒兰一中2018届高三上学期第四次月考数学文

舒兰市第一高级中学2018届高三上学期第四次月考

高三数学（文）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，，，则( )

A．B．C．D．

2.一个棱锥的三视图如图所示（尺寸的长度单位为），则该棱锥的全面积是( )（单位：）

A．B．C．D．

3.已知的面积为，，，则( )

A．B．C．D．

4.等差数列中，前项的和为，若，，那么等于 ( )

A．90 B．45 C. 30 D．

5.设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于( )

A．B．C.D．

6.已知，，，，则( )

A．B．C.D．

7.若不重合的四点满足，，则实数的值为( )

A．2 B．3 C. 4 D．5

8.直线与圆相切，则实数等于( )

A．或B．或C.或D．或

9.在中，角所对的边分别为，且，，，则的值等于( )

A．B．C.D．

10.设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是( )

A．B．C.D．3

11.已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是( )

A．B．C.D．

12.定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为.已知，，则函数在上的均值为( )

A．B．C.D．10

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若等比数列的各项均为正数，且，则等于 ．

14.在长方体中，，，若棱上存在点，使得，则棱的长的取值范围是 ．

15.定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为 ．

16.已知函数有零点，则的取值范围是 ．

三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上．

（Ⅰ）求圆心为的圆的方程；

（Ⅱ）若直线与圆总有公共点，求实数的取值范围．

18.已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若向量，，试求的取值范围．

19.已知在公差不为零的等差数列中，和的等差中项为11，且，其前项和为．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求证：.

20.如图，在四棱锥中，平面，，，，

，为线段上的点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若是的中点，求与平面所成的角的正切值．

21.已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，且满足，，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）证明：的面积为定值．

22.已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）设，证明：对任意，．

试卷答案

一、选择题

1-5: BAABD 6-10: CBDCC 11、12：BC

二、填空题

13. 50 14. 15.16.

三、解答题

17.解：（Ⅰ）由于的中点为，，

则线段的垂直平分线方程为，

而圆心是直线与直线的交点，

由解得，即圆心，

又半径为，故圆的方程为；

（Ⅱ）圆心到直线的距离，

得，解得．

18. 解：（Ⅰ）由题意得，即，

由余弦定理得，

∵， ∴；

（Ⅱ）∵，

∴

.

∵，∴∴，

所以，故．

19. 解：（Ⅰ）由题意可知，，

则，

解得，∴；

（Ⅱ）∵，∴，

∴，

，

，得证．

20.解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥中，平面，

∴.∵，.

设与的交点为，则是的中垂线，

故为的中点，且.

而，∴面；

（Ⅱ）若是的中点，为的中点，则平行且等于，

故由面，可得面，

∴，故平面，故为与平面所成的角．

由题意可得.

中，由余弦定理可得，

，

∴，.

∵直角三角形中，，

∴直角三角形中，.

21.解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得，，即，

又，∴，

∴，∴，∴椭圆方程为；

（Ⅱ）当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，

联立，可得，

，

，，

∴，，

∴

∴，∴，∴，

设原点到直线的距离为，则

，

当直线斜率不存在时，有，

∴，即的面积为定值．

22. 解：（Ⅰ）的定义域为．．

当时，，故在单调增加；

当时，，故在单调减少；

当时，令，解得．

则当时，；

当时，，

故在单调增加，在单调减少；

（Ⅱ）不妨假设，由于，故在单调减少．

所以等价于

，即．

令，则．

于是．

从而在单调减少，故，

即，

故对任意，．