四川省成都市九校2017届高三下学期期中联考数学（理）试卷

2016～2017学年度（下期）高2014级第一次联考试卷

理科数学

考试时间共120分，满分150分

试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1.已知集合，则（ ）

1. B.C.D.
   2.关于复数，下列说法中正确的是（ ）
   A.B.的虚部为
   C.的共轭复数位于复平面的第三象限 D.
   3.已知是平面外的一条直线，过作平面，使，这样的（ ）
   A.恰能作一个B.至多能作一个C.至少能作一个D.不存在
   4.已知二项式的展开式中常数项为，则（ ）
   A.8B.C.D.
   

   

   A B C D

   5.函数的图象是（ ）
   

   

   

   

   
   6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等.”，则其中分得钱数最多的是（ ）
   A.钱B.1钱C.钱D.钱
   7.将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（ ）
   A.60B.90C.120D.180
   8.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值为4，则的值不可能是（ ）
   A.3B.6C.8D.11
   9.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与的图象交于两点，则（ ）
   A.32B.16C.-16D.-32
   10.三棱锥及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
   A.B.
   C.D.
   11.已知双曲线的右顶点为，若双曲线右支上存在两点使得为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
   1. B.C.D.

12.设函数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知满足不等式，则的最大值 .

14.已知向量，则向量在向量方向上的投影为 .

15.斜率为的直线经过点交抛物线于两资*源%库 点，若的面积是面积的2倍，则.

16.已知数列满足，，则的整数部分是

.

三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

在中，已知，.

(1)求的值；

(2)若，为的中点，求的长.

18.(本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面

，

直线与平面所成角的正切为.

(1)设为直线上任意一点，求证：；

(2)求二面角的正弦值.

19.(本小题满分12分)

为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：

甲校：

乙校：

以抽样所得样本数据估计总体

(1)比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；资*源%库

(2)若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共人，求的分布列及数学期望.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆，圆经过椭圆的焦点.

(1)设为椭圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，求面积的取值范围，其中为坐标原点；

(2)过点的直线与曲线自上而下依次交于点，若,求直线的方程.

21.(本小题满分12分)

已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

(2)设有两个极值点，且，求证：.

资*源%库

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)

在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是

（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆和的极坐标方程；

(2)射线：与圆交于点，与圆交于点，求的最大值.

23.(本小题满分10分)

设函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若，恒成立，求实数的取值范围.

数学（理）参考答案

1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.D 9.A 10.A 11.C 12.B

13、2 14、15、16、3

17、解：（1）且，·

······2分

. ···资*源%库······6分

（2）由（1）得，

由正弦定理得，即，解得. ······资*源%库 ···9分

由余弦定理，，所以.·····12分

18、解：（1）设为线段的中点，由知，由知，从而三点共线，即为与的交点. ········2分

又平面，所以

又，所以平面

因为为直线上任意一点，所以平面，所以········5分

（2）以所在方向为轴，所在方向为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系

由题意，

又平面故直线与平面所成角即为，

所以，所以

··········8分

设平面的法向量，由，有

解得···········10分

由（1），取平面的法向量

所以

所以二面角的正弦值为·············12分

19、解：（1）

········2分

········4分

所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校 ········5分

（2）由上表可知，甲、乙两校学生的优秀率分别为，······6分

，

所以的分布列为

	0	1	2	3	4

··········10分

·········12分

20、解：（1）椭圆的焦点坐标为，所以·········1分

设，则

············3分

所以的面积··········5分

（2）设直线的方程为

联立，消去，得

设，则·········7分

联立，消去，得

设，则·········9分

又，所以即·········10分

从而，即，解得

所以直线的方程为··········12分

21、解：（1）

由题意，解得············4分

（2）由题意，为的两根，，···6分

由知

结合单调性有. ········8分

又

资*源%库 $来&源： ·········9分

设

则

，故在递增，又

时，，

，当时，递减，当时，递增

综上，·········12分

22、解：（1）圆和的普通方程分别是和··2分

∴圆和的极坐标方程分别为，. ·······5分

（2）依题意得点的极坐标分别为，······7分

∴，，从而.

当且仅当，即时，上式取“=”，取最大值是4.··10分

23、解：（1）， ··········3分

当时，，

当时，，得，

当时，，得，

综上所述不等式的解集为. ··········6分

（2）由（1）易得··········8分

若，恒成立，则只需

解得：.

所以实数的取值范围为··········10分