四川省成都市龙泉驿区第一中学校2017届高三上学期期中考试数学（理）试卷

成都龙泉中学2014级高三上期期中考试试卷

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

注意事项：

1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.

2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，，则

A．B.C．D．

2.等比数列中，，则数列的前8项和等于

A．6 B．5 C．4 D．3

3.如果函数在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是

A．a≥9    B．a≤－3     C．a≥5    D．a≤－7

4．若，则的值为

ABCD

5.已知函数f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，），且x₁＜x₂，则下列结论中正确的是
(A)（x₁-x₂）＜0           (B) f（）＜f（）
(C) x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）      (D) x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

6.已知a，b∈R₊，函数f（x）=alog₂x+b的图象经过点（4，1），则的最小值为

A．B．6C．D．8

7.定义在上的函数满足：，且，则的最大值为

A．0 B． C．1 D.2

8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．B． C．23 D．24

9.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

10. 在中，分别是的三等分点，且若，则

1. B.C.D.

11. 设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率,是椭圆和双曲线的一个公共点, 且满足, 则

1. B.C. D. 1

12． 定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为

A．B．

C．D．

二、填空题（每小题4分，共20分）

13.已知x与y之间的一组数据：

则y与x的线性回归方程为必过点　　．

14.若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .

15.等差数列中，为其前项和，若，，则＝．

16.已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，

则实数a的取值范围是______________．

三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17.（本题满分12分）

已知函数，

（1）求的最小值；

（2）若对所有都有，求实数的取值范围.

18.（本题满分12分）

已知数列的前项和满足其中

1. 求数列的通项公式；

（2）设求数列的前项的和。

19.(本题满分12分)

如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点

在第一象限.

1. 已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
2. 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.

资*源%库

20.为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（Ⅰ）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；

（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；

（Ⅲ）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．

21.（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，已知向量，且。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

$来&源：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，射线，与曲线分别交异于极点的两点.
（I）把曲线和化成直角坐标方程，并求直线被曲线截得的弦长；

（II）求的最小值.

资*源%库

23.（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为.

（1）设是整数集，求；

（2）当时，证明：.

数学（理工类）参考答案

1—5 CCADC 6—10 DDAAC 11—12 AB

1. （2.5，2） 14.15．16.

17.解：（1）的定义域为，的导数.

令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递增.

所以，当时，取得最小值.

（2）依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立 .

令， 则.

当时，因为，

故是上的增函数， 所以的最小值是，

所以的取值范围是.

18.解: (1) , ①

当时,,,

当时,, ②

①②, 得, 即. 又,

对都成立, 所以是等比数列,.

(2),

,, 即.

19.[ Ⅰ ]

[ Ⅱ ]

20.解：（ I）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数…（ I I）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好．…（7分）

（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，2）、（13）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A，则A包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．…（10分）

所以，…（12分）

21.（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】：（Ⅰ）由，得，

，∴，即，

∵，∴．

（Ⅱ）∵，且，∴，

∴．

∴

，

∵， ∴， ∴， ∴．

22.极坐标与参数方程

（1）—————————————————4分

（2）——6分

———8分

的最小值为———10分

23.解：

（Ⅰ）|x＋1|＋|x－1|＝当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M＝(－2，2)，故.

（Ⅱ）当a，b∈M即－2＜a，b＜2，

∵4(a＋b)²－(4＋ab)²＝4(a²＋2ab＋b²)－(16＋8ab＋a²b²)＝(a²－4)(4－b²)＜0，

∴4(a＋b)²＜(4＋ab)²，∴2|a＋b|＜|4＋ab|．