四川省成都经济技术开发区实验中学校2018届高三4月月考数学（文）

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成都经开区实验中学2015级高三下4月月考试试题

数 学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则
   A．B．
   C．D．
   2.已知为虚数单位，则
   A．B．C．D．
   3.下列函数中，既是奇函数，又在区间内是增函数的为
   1. B.
      C.D.
      4.设等比数列前项和为，若，，则
      A．B．C.D．
      5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是
      
      A．B．C．D．
      6.若关于x的方程|log_a|x＋b||＝b(a＞0，a≠1)有且只有两个解，则
      A.b＝1B.b＝0C.b＞1D.b＞0
      7.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，，，则该研究所可以
      A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
      B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
      C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
      D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
      8．已知实数，满足不等式组且的最小值为，最大值为，
      则
      A．B．C．D．
      9. 如图，是边长为2的正方形，点分别为的中点，将△，△,△分别沿折起，使三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
      
      A.B.C.D.
      10. 若函数的图象向右平移个单位后的图象关于直线对称，则实数的值可以是
      A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
      11.若双曲线的渐近线与圆相离，则此双曲线的离心率的取值范围是
      A．（2，+∞） B．（1，2）
      C．D．
      12.函数的图像大致为
      A.  B. 
      C.  D.
      第Ⅱ卷（90分）
      本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
      二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
      13.已知为数列的前项和，，当时，，则．
      14．己知，那么的最小值是 ．
      15.已知的角，，所对的边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则面积的最大值为 ．
      16 设函数的定义域为D，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D上的“型增函数”．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，若为R上的“2011型增函数”，则实数的取值范围是 ．
      三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
      17．（本小题满分12分）（本小题满分12分17．（本小题满分12分）已知向量，向量，函数.
      (Ⅰ)求f(x)单调递减区间；
      (Ⅱ)已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且恰是f(x)在上的最大值，求A,b，和的面积S.
      18．（本小题满分12分）
      某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
      
      记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
      （Ⅰ）若n=19,求y与x的函数解析式;
      （Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
      （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
      19.（本小题满分12分）
      在如图所示的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
      (1)求证：AF∥平面BCE；
2. 求证：平面BCE⊥平面CDE.

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx(其中a≠0)，且f′(－2)＝0.

（1）若f(x)在x＝2处取得极小值－2，求f(x)的单调区间；

（2）令F(x)＝f′(x)，若F′(x)>0的解集是A，且A∪(0,1)＝(－∞，1)，求的最大值．

21．（本小题满分12分）

对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点．

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，

（ⅰ）求的极值点；

（ⅱ）若存在既是的极值点，又是的不动点，求的值；

（Ⅱ）若有两个相异的极值点，，试问：是否存在，，使得，均为的不动点？证明你的结论．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程

在直角坐标系中,直线L的参数方程 (t为参数),在O为极点,x轴非负半轴为为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线L的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

（2）若直线L与y轴的交点为P,直线L与曲线C的交点为A,B,求|PA||PB|的值.

23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

（1）当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

（2）若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

数 学（文科）参考答案

1—5 BDDBD 6—10 BAABC 11—12 DC

13.14.15. 16 .

17.解：(Ⅰ)

……3分

所以f(x)的单调递减区间为……………… 5分

(Ⅱ) 由(1)知：时,

由正弦函数图象可知,当时f(x)取得最大值3， 7分

所以,…………… … 8分

由余弦定理，得

∴10分

。…………… 12分

18.【答案】(Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;

当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.

所以y与x的函数解析式为

y=(x∈N).

(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.

(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000.

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050.

比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

【解析】本题考查柱状图、频数、平均数等知识,意在考查考生的数据处理能力、统计意识和应用意识,化归与转化能力,运算求解能力.(Ⅰ)读懂题意与柱状图,即可用分段函数的形式表示y与x的函数解析式;(Ⅱ)读懂不小于即是大于或等于,并且把频率问题转化为频数问题,即可求出n的最小值;(Ⅲ)分别求出n=19与n=20时,这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,比较平均数大小,即可得出结论.

19.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝DE. …（2分）

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB. …（4分）

又AB＝DE，∴GF＝AB.

∴四边形GFAB为平行四边形，故AF∥BG.

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE. …（6分）

(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE. …（8分）

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. …（10分）

∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. …（12分）

20．【解析】　(1)∵f′(x)＝ax²＋2bx＋c，

∴解得b＝0，a＝，c＝－.

∴f′(x)＝x²－≥0，得x≥2或x≤－2.同理f′(x)＝x²－≤0，

得－2≤x≤2.即函数f(x)的单调减区间是[－2,2]，增区间是(－∞，－2]和[2，＋∞)．

(2)∵f′(x)＝ax²＋2bx＋c＝F(x)，F(－2)＝4a－4b＋c＝0，

∴4b＝4a＋c.

F′(x)＝2ax＋2b＝2ax＋>0，∴2ax>－.

当a>0时，F′(x)>0的解集是，显然不满足A∪(0,1)＝(－∞，1)，

当a<0时，F′(x)>0的解集是，

若满足A∪(0,1)＝(－∞，1)，则0<－≤1，

解得－<≤－.∴的最大值为－.

21．解：（Ⅰ）的定义域为，且．[1分]

当时，．

（ⅰ）① 当时，显然在上单调递增，无极值点．[2分]

② 当时，令，解得．[3分]

和的变化情况如下表：

	↗		↘		↗

所以，是的极大值点；是的极小值点．[5分]

（ⅱ）若是的极值点，则有；

若是的不动点，则有．

从上述两式中消去，整理得．[6分]

设．

所以，在上单调递增．

又，所以函数有且仅有一个零点，

即方程的根为，

所以．[8分]

（Ⅱ）因为有两个相异的极值点，，

所以方程有两个不等实根，，

所以，即．[9分]

假设存在实数，，使得，均为的不动点，则，是方程

的两个实根，显然，．

对于实根，有．①

又因为．②

①②，得．

同理可得．

所以，方程也有两个不等实根，．[11分]

所以．

对于方程，有，

所以， 即，

这与相矛盾！

所以，不存在，，使得，均为的不动点．[12分]

22.【答案】(1)∵直线的参数方程为∴,∴直线的普通方程为,又∵,∴曲线C的直角坐标方程为;

(2)将直线的参数方程(为参数)代入曲线,得到:．则|PA||PB|=

【解析】本题主要考查参直与极直互化、参数的几何意义的应用,考查了方程思想与逻辑思维能力.(1)消去参数t即可得到直线的普通方程;由公式得到曲线C的直角坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,由韦达定理,结合参数的几何意义求解即可.

23.解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得，f(x)＝

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，

△ABC的面积为(a＋1)².由题设得(a＋1)²>6，故a>2.

所以a的取值范围为(2，＋∞).