天津市滨海新区六所重点学校2016届高三毕业班联考数学（理）试卷

2016年天津市滨海新区六所重点学校高三毕业班联考

数学试卷（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

参考公式：（1）（2）(3)

(4)若事件相互独立，则与同时发生的概率.

第I卷（选择题，共40分）

1. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）

1．设是虚数单位,复数=(　　)

A．  B．   C．  D．

2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x＋3y的最小值为(　　) A．2  B．3  C．4  D．5

3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )

A．4  B．5 C．6 D．7

4．下列说法错误的是（ ）

A．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”

B．对于命题：，，

则：，

C．若，“”是“”的充分不必要条件

D．若为假命题，则、均为假命题

5．在的二项展开式中，含的系数为（ ）

A．B．C．D．

6．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程（     ）  

A． B．C．D．

7．如图，菱形的边长为2，,为的中点， 若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（ ） A． 3 B． C． 6 D．9

8．定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为 （ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷(非选择题，共110分)

二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上)

9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生

共抽取14名，则高一学生共抽取___________名．

10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是____________．

11．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程．曲线上任意一点到直线距离的最小值为___________．

12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线围成的封闭区域为B ,在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为___________．

13．如图，为圆的直径，为圆上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆于，

若，，则__________.

14．已知U=R,关于的不等式的解集是，且，则，实数的的取值集合为A. 集合,则__________.

三.解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本题满分13分）已知函数

（Ⅰ）求函数的对称轴方程，并求在区间上的最值；

（Ⅱ）设的内角、、的对边分别为、、，满足，,且，求、的值.

16. （本小题满分13分）A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球,乙从B袋中取球．

（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；

（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

17.（本小题满分13分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在一个动点M，使得直线与

平面所成角为，若存在，求线段PM的长度，若

不存在，说明理由．

18. (本小题满分为13分)已知等比数列的公比，首项，成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数k．

19. （本小题满分14分）已知椭圆C:离心率，短轴长为2．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 设直线过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线的方程；

（Ⅲ） 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重 合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．

试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

20.（本小题满分14分）已知函数，

（Ⅰ）求曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ）若，设．且正实数，满足，

求证：．

2016年天津市滨海新区六所重点学校高三毕业班联考

数学试卷（理科） 评分标准

一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分). DCAD BCDC

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).

9. 15； 10. ; 11. ； 12. ； 13. 3； 14. .

三、解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

………1分………2分

………3分

，………4分

对称轴方程为：………5分

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，当时，取最大值 1 ………7分

又，当时，取最小值……8分

（Ⅱ），,

，， ………10分

因为，所以由正弦定理得………11分

由余弦定理得，即………12分

解得：，………13分

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设事件为“两人中所取的球颜色不同”， ………1分

则． ………4分

（Ⅱ）依题意，的可能取值为0,1,2． ………5分

甲所取的两球颜色相同的概率为， ………6分

乙所取的两球颜色相同的概率为， ………7分

， ………8分

， ………9分

， ……… 10分

所以Ｘ的分布列为：

………11分

． ………13分

17、（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD =AD，AB⊥AD

∴AB⊥平面PAD ………2分

又∵EF//AB ∴EF⊥平面PAD ………3分

（Ⅱ）取AD中点O，连结PO ∵平面PAD⊥平面ABCD

PO⊥AD ∴PO⊥平面ABCD ………4分

如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系

∴O（0，0，0）A（0，-2，0）B（4，-2，0）C（4，2，0）

D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，-1，）

设平面EFG的法向量为，， ………6分

又平面ABCD的法向量为， ………7分

设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为. ………9分

（Ⅲ）设，，

， ………10分

………11分

， ………12分

即，无解，不存在这样的M. ………13分

18．（本题满分13分）

解：（Ⅰ）成等差数列，---------1分

∴， ---------2分

∴---------3分

（Ⅱ）由（1）， ---------4分

∴①

② ---------6分

①-②得，------7分

--------8分

（Ⅲ由，得--------9分

-------10分

…………12分

不超过的最大的整数k是2016． …………13分

19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由短轴长为，得， …………1分

由，得． …………2分

∴椭圆的标准方程为． …………3分

（Ⅱ）1）当直线的斜率存在时，设直线方程：

…………5分

…………6分

…………7分

2）当直线的斜率不存在时，不符合.

直线方程为和. …………9分

（Ⅲ）以为直径的圆过定点．

证明如下：设，则，且，即，

∵，∴直线方程为：，∴

直线方程为：，∴， …………11分

以为直径的圆为

【或通过求得圆心，得到圆的方程】

即， …………12分

∵，∴， 令，则，解得.

∴以为直径的圆过定点． ………14分

20、（本小题满分14分）（Ⅰ）………1分

切线的斜率………2分

………3分

（Ⅱ）由题意，

设…………4分

………5分

①当时，因为，所以

所以在上是单调递增函数，

， …………4分

所以关于x的不等式不能恒成立. …………6分

②当时，

.

令，因为，得，

所以当时，；当时，.

因此函数在是增函数，在是减函数.7分

故函数的最大值为

. …………8分

令，因为在上是减函数，

又因为，，所以当时，.

所以整数m的最小值为2. …………10分

（Ⅲ）时，

由，得，即，

整理得，…………11分

令，则由得，，

可知在区间上单调递减，在区间上单调递增. …………12分

所以， …………13分

所以，解得，

因为为正数，所以成立. …………14分