天津市静海县第一中学2018届高三12月学生学业能力调研考试数学理

静海县第一中学2018届高三12月学生学业能力调研考试

数学（理）试题

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1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（136分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第I卷 基础题（共136分）

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知集合，集合，，那么集合（ ）

1. B.C.D.

2.设实数满足，则的最小值为（ ）

1. 4 B. C. D. 0

3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）

1. 6 B. C.D.

4.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ）A. 3 B. C.D.

5.已知，则的最小值为（ ）

1. B.C.D.

6．下列选项中，说法正确的是( )

1. 命题“”的否定是“”
2. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
3. 命题“若,则”是假命题
4. 命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题

7.已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（ ）

1. B.C.D.

8.已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

二、填空题：（每题5分，共30分）

9. 已知为实数，为虚数单位，若为实数，则__________．

10.一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.

11.设函数，则使得成立的的取值范围为_____．

12. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为___________．

13.点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是___________．

14.已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=，=．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•= ．

三、解答题：(共80分)

15.(13分)设函数.

（1）求函数的值域和函数的的单调递增区间；

（2）当，且时，求的值.

16.(13分)各项均为正数的数列的前项和为满足.（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，整数，求的最大值.

17.(13分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.

（）求证：.

（）若，且平面平面，

求①二面角的锐二面角的余弦值.

②在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角等于，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由.

18.（13分）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，，，数列的前n项和为

（1）求数列的通项公式及前n项和；

（2）求数列的通项公式及前n项和；

（3）记集合，若M的子集个数为16，求实数的取值范围.

19. （14分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.

第Ⅱ卷 提高题（共14分）

20. 已知函数.

（1）若函数在定义域单调递增，求实数的取值范围；

（2）令，，讨论函数的单调区间；

（3）如果在（1）的条件下，在内恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．C

2．B

3．D

4．C

【解析】由余弦定理可知：，

，即，，，故选C.

5．C

【解析】，当且仅当时，等号成立，故选C.

6．C

7．A

【解析】∵函数为幂函数，

∴,

解得.

∴,

由条件得点在函数的图象上，

∴，

解得.

∴，

∴函数在R上单调递增。

∵,

∴,

∴,即。选A。

8．C

9．-2

【解析】为实数，则。

10．36

【解析】如图所，该几何体为一个三棱柱和一个长方体的组合体，它的体积为

即答案为69

11．

【解析】

试题分析：依题意，建立如图所示平面直角坐标系，由已知得，，

所以，，.

考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的线性运算；3.平面向量的数量积.

12．.

【解析】

试题分析：由题意得：，，

又∵，∴，

又∵菱形的边长为，，∴，

∴.

考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.

13．

【解析】圆的圆心为，在直线上，，圆的圆心为，半径为1，，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为，面积的最大值是.

14．

【解析】因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，

故答案为：。

15．（1）值域是，单调递增区间为；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间．
（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．

试题解析：

（1）依题意.

因为，则.

即函数的值域是.

令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.

（2）由，得.

因为，所以时，得.

所以.

16．(1)证明见解析；(2)①；②答案见解析.

【解析】试题分析：

1. 由题意可证得平面，然后利用线面平行的性质定理可得，
2. ①建立空间直角坐标系，由题意可得平面的一个法向量为；

而为平面的一个法向量.据此计算有二面角的锐二面角的余弦值为.

②假设上存在点满足题意，利用平面向量的夹角公式得到关于实数的方程，解方程可得，则线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.

试题解析：

（）证明：∵，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，且平面平面，

∴，

（）①取的中点，连接，，，

∵是菱形，且，，

∴，是等边三角形，

∴，，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系，则：

，，，，，，.

，，

设平面的法向量为，则：

，∴，

令得：；

∵平面，

∴为平面的一个法向量.

∴.

故二面角的锐二面角的余弦值为.

②假设上存在点使得直线与平面所成角等于，

则与所成夹角为，

设，则：

，

，

化简得：，

解得：或（舍），

∴线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.

点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．

(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．

17．(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据，提取公因式得到，故，由等差数列的概念得到，结果。（2）首先由题干知道

再根据裂项求和得到，，就可以证得结果。

（Ⅰ），，所以

，

所以，即数列是等差数列.

（Ⅱ）若，则，

18．（1），（2）（3）

【解析】试题分析：利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出，

先得到，再利用累乘法，得到数列的通项公式，再利用错位相减法求出前项和公式

根据函数的的单调性，得到不等式继而求实数的取值范围

解析：（1）设数列的公差为d，由题意知：解得

，

（2）由题意得：

当时

又也满足上式，故

故——①

——②

①－②得：

＝

（3）由（1）（2）知：，令

则，，，，

当时，

集合M的子集个数为16中的元素个数为4

的解的个数为4

19．（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由"左焦点为，右顶点为"得到椭圆的半长轴，半焦距，再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程；（2）设线段的中点为，点的坐标是，由中点坐标公式，分别求得，代入椭圆方程，可求得线段中点的轨迹方程；（3）分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析，求得弦长，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.

试题解析：（1）椭圆的标准方程为.

（2）设线段的中点为，点的坐标是，

由，得

点在椭圆上，得

∴线段中点的轨迹方程是.

（3）当直线垂直于轴时，，因此的面积.

当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，

解得，，

则，又点到直线的距离，

∴的面积

于是

由，得，其中，当时，等号成立.

∴的最大值是.

20．（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）即恒成立，再参变分离得最大值，利用基本不等式求最值得（2）先求导数得，再根据导函数是否变号进行分类讨论：若，导函数不变号，在单调递增；若，导函数先正后负，即先增后减（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：，其中，再利用导数研究得在上单调递增，即得，解得实数的取值范围.

试题解析：（1），因为在定义域单调递增，所以恒成立

即

而（当且仅当时等号成立），故即为所求.

（2），

①若，，则在单调递增

②若，令，，，

则在单调递增，在单调递减

（3）由题意，须对任意恒成立，

设，

∵，，∴，，

∴即在上单调递增，

若对任意恒成立，

则应令综上所述，即为所求.