广东省东莞市松山湖学校、一中2016届高三12月联考数学试卷（理）

东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考

理科数学试题

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.若集合=

1. B.C.D.

2.复数是纯虚数，则实数的值为

A. -1 B. －2 C.2 D.2或－1

3.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:

1. α∥β⇒l⊥m;(2)α⊥β⇒l∥m;(3)l∥m⇒α⊥β;(4)l⊥m⇒α∥β.
   其中正确的命题(　　)
   A.(1)(2)　B.(2)(4) C.(1)(3)D.(3)(4)
   4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为
   1. B.+6 C. +4D.+6

5．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是

A．k>4? B．k>5? C．k>6?D．k>7?

6. 函数的最小正周期是

A.B.C.D.

7. 已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则

A. B. C．1 D．2

8．已知圆C：，若点P（，）在圆C外，则直线l:与圆C的位置关系为

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

9.的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量,，若，则角的大小为

A．B．C．D．

10.已知函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为

A．B．C．D．

11.已知点为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得则此椭圆的离心率的取值范围是

A.(0,B.(0,C.(D.[

12. 对于函数,若,为某一三角形的三条边，则称为“可构造三角形函数”，已知函数（为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是

A.B.C.D.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.由曲线，直线直线围成的封闭图形的面积为

14.设数列的前项和为，且数列是首项和公比都是3的等比数列，则的通项公式＝

15．外接圆半径为，内角A,B,C对应的边分别为，若A=60°，，则的值为

16.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面，是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17.（12分） 已知数列为等比数列，为等差数列的前项和，

(Ⅰ)求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求.

18. （12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。

（Ⅰ）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（Ⅱ）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

19.（12分）如图，在四棱锥中，//，，，

，平面平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为，

求二面角的平面角的余弦值.

20.（12分）设M是焦距为2的椭圆E：（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂＝－．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知椭圆E：（a＞b＞0）上点N（，）处切线方程为， 若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．

21.（12分）已知函数f(x)＝＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，t∈R.

(Ⅰ)求θ的值；

(Ⅱ)当t＝0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；

(Ⅲ)若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得g(x₀)>f(x₀)成立，求t的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号.

22. (10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，点是以线段为直径的圆上一点，于点，过点作圆的切线，与的延长线交于点，点是的中点，连接并延长与相交于点, 延长与的延长线相交于点．

(1)求证：；

(2)求证：是圆的切线．

23. (10分)选修4-4：极坐标系与参数方程

在极坐标系下,已知圆和直线

(I )求圆和直线的直角坐标方程;

（II）当时,求直线和圆公共点的极坐标.

24. (10分) 选修4-5：不等式选讲

已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

(I)求a的值； （II)若≤k恒成立，求k的取值范围．

---

东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考

理科数学参考答案 2015.12.24

一、选择题：1——5 ACCDB； 6——10 CBCBB； 11——12 DD

二、填空题：13.14.15.16.

三、解答题：

17. (1)) 3分 ; 6分

(2)12分

18．Ⅰ）甲抽奖一次，基本事件总数为=120,奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.

一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(ξ=240)=

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种，所以P(ξ=60)=

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。

得奖金30的概率为P（ξ=30）=奖金为0的概率为P（ξ=0）=

ξ的分布列为：

ξ	0	30	60	240
P

6分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P=10分

四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数η～B（4，）故.12分

19.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知

∴2分

∵平面平面，平面平面∴平面

∴，4分

∵∴平面.5分∴平面平面.6分

（Ⅱ）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设

由△△，知，∵∴，

∵∴，9分

作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.10分

∵△△，∴，而∴

∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为.12分

法二：（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面又∵，故可如图建立空间直角坐标系2分

由已知，，，（）

∴，，

∴，，∴，，∴平面.4分∴平面平面6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，

设直线与平面所成的角为，∴，

∵∴，即8分

设平面的一个法向量为，，

由，∴，令，则10分

∴，11分显然二面角的平面角是锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为12分

21. 解：(1)由已知得f′(x)＝－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，即≥0在[1，＋∞)上恒成立， 2分∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，∴sinθ·x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sinθ·1－1≥0，即sinθ≥1，∴sinθ＝1，由θ∈(0，π)，知θ＝. 4分

(2)∵t＝0，∴g(x)＝－－lnx，x∈(0，＋∞)，

∴g′(x)＝－＝， 5分

令g′(x)＝0，则x＝2e－1∈(0，＋∞)，∴x，g′(x)和g(x)的变化情况如下表：

x	(0,2e－1)	2e－1	(2e－1，＋∞)
g′(x)	＋	0	－
g(x)	↗	极大值	↘

即函数的单调递增区间是(0,2e－1)，单调递减区间是(2e－1，＋∞)，极大值是g(2e－1)＝－1－ln(2e－1)．7分

(3)令F(x)＝g(x)－f(x)＝tx－－2lnx，

当t≤0时，由x∈[1，e]有tx－≤0，且－2lnx－<0，∴此时不存在x₀∈[1，e]使得g(x₀)>f(x₀)成立 9分

当t>0时，F′(x)＝t＋－＝，∵x∈[1，e]，∴2e－2x≥0，又tx²＋t>0，∴F′(x)>0在[1，e]上恒成立，故F(x)在[1，e]上单调递增，∴F(x)_max＝F(e)＝te－－4，令te－－4>0，则t> 11分 故所求t的取值范围为. 12分

22.证明：（1） 因为是圆的直径，是圆的切线，所以.又因为，所以，可知，，所以，所以.

因为是的中点，所以，所以是的中点，. ………5分

（2）如图，连接，因为是圆的直径，所以

在中，由（Ⅰ）知是斜边的中点，

所以，所以.

又因为，所以．

因为是圆的切线，所以.

因为，

所以是圆的切线. ………10分

23.解： (1) 圆:2分

直线方程为5分

(2)极坐标为(1,) 10分