广东省深圳市沙井中学2017届高三上学期期末考试数学（理）试卷

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高三年级理科数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知,函数的定义域为,集合,则下列结论正确的是

（A）（B）（C）（D）

2.设，其中是实数，则

（A）1 （B）（C）（D）

3.下列说法正确的是

（A）函数在其定义域上是减函数

（B）两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

（C）命题“R，”的否定是“R，”

（D）给定命题、，若是真命题，则是假命题

4.圆的圆心被直线所截的线段长为，则

（A）（B）（C）（D）2

5.已知，，，则

（A）（B）（C）（D）

6.如图，以为始边作角与（），它们终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为，，则

（A）（B）（C）（D）

7.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小份为（）

（A）（B）（C）（D）

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

（A）（B）（C）（D）

9．函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

（A）（B）（C）（D）

10．如图4是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；

图4

其中正确的有(　　)

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

11．已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为

（A）（B）（C）（D）

12．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（0，5]时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[0，2017]上的零点个数为

（A）606个（B）604个（C）603个（D）600个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．计算___________.

14．若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是___________.

15.设关于x,y的不等式组表示的平面区域为D,若存在点P(x₀,y₀),满足x₀-2y₀=2,求得m的取值范围是___________.

16.若直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P，与曲线y=ln（x+1）相切于点Q，则________

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设数列的前项和为，是和1的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18.（本小题满分12分）

在中，角,,所对的边分别为,,，已知，．

（1）求角的大小；

（2）如果，求的面积．

19．（本小题满分12分）

如图,平面，平面,△是等边三角形，,

是的中点.

（1）求证：;

（2）若直线与平面所成角的正切值为，

求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．

（1）求与的标准方程；

（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若方程存在两个不同的实数解、，求证：.

22.（本小题满分10分）

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合．若曲线的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．

1. 将曲线的参数方程化为极坐标方程；
   (2)由直线上一点向曲线引切线，求切线长的最小值．
   

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   高三理科数学答案
   1-12 CDDAB ACBDB BA
   13．； 14. ; 15; 16.
   17【解析】（1）由题意得：， ① 当时，，②
   ①-②得，即，∴．由①式中令，可得，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．
   （2）由得
   
   
   
   
   ∴．
   （18）解：（Ⅰ）因为，，
   由余弦定理得,即. ……………………2分
   所以. …………………………………………4分
   由于, 所以. …………………………………………6分
   19（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点, 所. ……………1分
   因为平面,平面, 所以. …………2分
   因为, 所以平面. ……………………3分
   因为平面,所以. ……………………………4分
   （Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且
   与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.
   因为平面,所以为直线与平面所成角. …………5分由题意得, 即,……………6分从而.
   不妨设, 又, 则,.………7分故,,,.…8分于是,,,,设平面与平面的法向量分别为,由得令,得, 所以. …9分 由得令,得,. 所.
   所以. …11分 所以二面角的余弦值为. 12分
   法2: 因为平面,所以为直线与平面所成角. 5分
   由题意得, 即,…从而.………6分
   不妨设, 又,,,. …7分
   由于平面,平面, 则∥.
   取的中点, 连接, 则.
   在Rt△中,,
   在Rt△中,,
   在Rt△中,,
   取的中点, 连接,,,
   则. …8分所以为二面角的平面角. …9分
   在Rt△中,,在Rt△中,,
   在Rt△中,,因为,
   所以. 所以二面角的余弦值. 12分
   20．解：（I）设椭圆的焦距为，依题意有，，
   解得，，故椭圆的标准方程为. ………………3分
   又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，
   ，故抛物线的标准方程为. ……………………5分
   （II）显然，直线的斜率存在. 设直线的方程为，设，
   ，则，，
   ，……………………6分
   即（）
   联立，消去整理得，（）.
   依题意，，是方程（）的两根，，
   ，，……………………7分
   将和代入（）得，
   解得，（不合题意，应舍去）. ……………………8分
   联立，消去整理得，，
   令，解得. 资*源%库……………………10分
   经检验,,符合要求.
   此时，，
   . ……………………12分
   21.解：（1）函数的定义域为：…………1分
   …………3分
   当时，，的单调递增区间为……4分
   当时，当时，，的单调递增区间为；……5分
   当时，，的单调递减区间为；……6分
   当时，，为的极小值
2. 方程存在两个不同的实数解、，

因此必能不为单调函数， 所以，……7分

令，则的的单调递减区间为,单调递增区间为,最小值

∴, 令，，

∵……8分

∴在上单调递增，且，∴当时，

∵，∴，

……10分

∵, ∴……11分

∵的单调递增区间为，、

∴, ∴……12分

22【解析资*源%库】（1）圆的直角坐标方程为．∵，

∴圆的极坐标方程为．

(2) ∵直线的极坐标方程为，∴，∴直线的直角坐标方程为．设直线上点，切点为，圆心，

则有， 当最小时，有最小．

∵，∴，

∴切线长的最小值为．