广东省汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试卷

2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学

高三理科数学期中考试卷

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（ ）

A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）

2．已知命题：

:在中，“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件;

:.

则下列命题为真命题的是（ ）

A．B．C．D．

3．已知平面向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为（ ）

A．B．C．D．

4．已知函数，则下列结论中正确的是(　 　)．

A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称

C．向左平移后得到奇函数 D．向右平移后得到偶函数

5．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( )

1. (B) (C) (D)

---

6．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e^kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在

22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　 )

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时

7．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为 (　 　)．

A．8 　　　 B．9

C．14 　　　 D．8

8．若是定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值等于（ ）

A．B．C．D．

9．记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设a，b为平面向量，则(　 　)

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|²，|a－b|²}≤|a|²＋|b|²D．max{|a＋b|²，|a－b|²}≥|a|²＋|b|²

$来&源：10．已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）

A．B．C．D．

11．定义在上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A.B.C.D.

12．函数f(x)在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f()≤[f(x₁)＋f(x₂)]，则称f(x)在[a，b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：

---

①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的；

②f(x²)在[1， ]上具有性质P；

③若f(x)在x＝2处取得最大值1，则f(x)＝1，x∈[1,3]；

④对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1,3]，有f()≤[f(x₁)＋f(x₂)＋f(x₃)＋f(x₄)]．

其中真命题的序号是 (　 　)

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

资*源%库第II卷(非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．由抛物线y＝x²－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为 ．

14．曲线C：f(x)＝sinx＋e^x＋2在x＝0处的切线方程为 ．

15．若函数在区间内是减函数，则的取值范围是 ．

16．已知函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分）

在△ABC中，、、分别为角A、B、C的对边，若，

，且.

(1)求角A的大小；

(2)当，且△ABC的面积错误！未找到引用源。时，求边的值和△ABC的面积．

---

18．(本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面，

为等边三角形,,

,,点是的中点．

（I）求证:平面；

（II）求二面角的余弦值；

19．(本小题满分12分）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．

20．(本小题满分12分）

已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段AB的垂直平分线通过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求△（为坐标原点）面积的最大值．

21．（本题满分12分）已知函数

(I) 求函数在上的最大值；

(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.是的导函数，若正常数满足.

求证：．

---

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.

（1）若，求的值；

（2）若,证明:．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，取原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：(为参数）

(I )求曲线的直角坐标方程，直线的普通方程；

(II)先将曲线上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线，为曲线上一动点，求点到直线距离的最小值，并求出相应的点的坐标．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围．

---

2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学

高三理科数学期中考试答案

一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	D	B	D	A	C	A	C	D	B	D	B

二、填空题：

13. 2 ； 14. 2x－y＋3＝0 ； 15. ； 16.

第10题解答：由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错；

当〈a，b〉为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时|a＋b|²>|a|²＋|b|².

当〈a，b〉为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|²<|a|²＋|b|²<|a－b|².

当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|²＝|a|²＋|b|².

资*源%库第12题解答：令f(x)＝，可知∀x₁，x₂∈[1,3]都有f()≤[f(x₁)＋f(x₂)]但函数f(x)在[1,3]上的图象不连续，故①不正确．排除A、C；取函数f(x)＝－x,1≤x≤3，则函数满足题设条件具有性质P，但f(x²)＝－x^2,1≤x≤就不具有性质P，故②为假命题，排除D.应选B.

三、解答题：

17．解:(1)由于m⊥n，

所以m·n = —2sin²错误！未找到引用源。+cos 2A+1=—2sin²错误！未找到引用源。+2cos²A

= —2cos²错误！未找到引用源。+2cos²A =2cos²A—cos A—1 = (2cos A+1)(cos A—1) = 0. ……..4分

所以cos A= -错误！未指定书签。或1(舍去),

∴…………………………..6分

(2)由S=错误！未找到引用源。及余弦定理得 tan C=错误！未找到引用源。,

∴C=错误！未指定书签。=B. ……..8分

又由正弦定理错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。得 ，……..10分

所以△ABC的面积S=错误！未指定书签。acsin B=错误！未找到引用源。…………………………..12分

18．（Ⅰ）证明:取中点,连结.

因为为中点 ,

所以.

因为.

所以且.

$来&源：所以四边形为平行四边形,

所以.

因为,

平面,

所以平面. …………………………..5分

（Ⅱ） 取中点,连结

因为,

所以.

因为 平面平面,

平面平面,

平面,

所以.………………..6分

取中点,连结,则

以为原点,如图建立空间直角坐标系, ………..7分

设则

.…………..9分

平面的法向量,

设平面的法向量,

由得

令，则.………..10分

.………..11分

由图可知，二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为. …………………………..12分

19． [解答]　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P()＝1－·p＝，解得p＝.…………4分

(2)由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3……5分

P(ξ＝0)＝C³＝，P(ξ＝1)＝C²·＝，

P(ξ＝2)＝C·²＝，P(ξ＝3)＝C³＝. ……9分

所以，随机变量ξ的概率分布列为

ξ	0	1	2	3
P

……10分

故随机变量ξ的数学期望：

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.…………12分

20．解：（Ⅰ）由已知可得解得， ………2分

故椭圆的标准方程为． ………3分

（Ⅱ）设，，联立方程

消去得． ………4分

当，即时， ………5分

，． ……6分

所以，．

当时，线段的垂直平分线显然过点

因为,所以

，当时，取到等号. ………8分

当时，因为线段的垂直平分线过点，

所以，化简整理得．

由得． ………9分

又原点到直线的距离为．

所以………10分

而且， 则．

所以当，即时，取得最大值． ………11分

综上，最大值为． ………12分

21．解：(Ⅰ)的定义域为

由得到：，令得（舍去）

当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减，是极大值，也是最大值.

所以最大值为．…………………4分

(Ⅱ)，又有两个不等的实根，

则，两式相减得到:…………6分

于是

，…………………8分

要证：，只需证：

只需证： ① ………9分

令，只需证：在上恒成立，

又∵………10分

∵，则，于是由可知，

故知在上为增函数，

则，从而知，即①成立，从而原不等式成立.…12分

22．解：（1）:因为四点共圆；,

又,

又.……………5分

证明：（2）,

又,

又因为四点共圆；

.……………10分

23.解：(Ⅰ), 由,得,

曲线的直角方程为.………………2分

由,消去解得：直线的普通方程为.……………4分

(Ⅱ)由已知得曲线的方程为，……………………6分

设点()， 点到直线的距离为=，………………8分

由三角函数的性质知，当=时，取得最小值，

此时, 所以点坐标为.……………………10分

24. 解： （1）由得，，解得．

所以原不等式的解集为. .…………4分

（2）因为对任意，都有，使得成立

所以，

有,,所以从而或.所以 实数的取值范围..…………10分