广西陆川县中学2018届高三开学考试数学理

广西陆川县中学2018年春季期高三开学基础知识竞赛

理科数学试题

第I卷(选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则中元素的个数为（ ）

A．必有1个 B．1个或2个 C．至多1个 D．可能2个以上

2．若,则=

A．B．1 C．3 D．

3．在等差数列中，，，则

A．7B．10C．20D．30

4.已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

A．B．C．D．

5.将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来

的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为

1. B.

C.D.

6.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框内应填的条件为

A．＜1B．＜0.5C．＜0.2D．＜0.1

7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为

1. 48 B. 72 C. 90 D. 96

8.下列命题中错误的命题是

A.对于命题使得，则都有

B.若随机变量，则

C.设函数，则函数有三个不同的零点

D.设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件

9.在中，,是的内心，若，则

1. B.C.D.

10.已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是

A．B.C.D.

11.已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，则函数的值域为

1. B.C.D.

12.已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13.若，则的二项展开式中的系数为 .

14.已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为___________．

15. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为若，则的取值范围是____________．

16.已知函数，点为坐标原点, 点，向量，

是向量与的夹角，则使得恒成立的实 数的取值范围为_________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数在的单调递减区间；

（Ⅱ）在锐角中，内角，，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.

18.（本小题满分12分）

某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为…，其中为标准，为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙

厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相

应的执行标准.

（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

且的数学期望, 求的值;

（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；

（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可

购买性？说明理由.

注: ①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.

19.（本小题满分12分）

如图,平面，平面, △是等边三角形，,

是的中点.

（Ⅰ）求证：;

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，

求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行

线交曲线于两个不同的点, 求△面积的最大值．

21.（本小题满分12分）

设函数. 若曲线在点处的切线方程为

（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的倾斜角；

（2）设点和交于两点，求.

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，证明：.

13.180 14.15.() 16.

三、解答题

17．解（1）由已知得

…………3分

又

函数在的单调递减区间为和. …………6分

（2）由（1）知

锐角，

又

，即…………9分

又

. …………12分

18. 解:

（Ⅰ）, 即,  ……………………1分

又由的概率分布列得, ② ……………………2分

由得…………………………………………………………4分

（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：

………………………………………………………………5分

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：

………………………………………………………………6分

所以. ……………7分

即乙厂产品的等级系数的数学期望为. ……………………………………………8分

（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，

……………………………………………9分

因为乙厂产品的等级系数的期望等于, 价格为元/件，所以其性价比为，

…………………………………10分

据此，乙厂的产品更具可购买性. ……………………………………………12分

19.解:

（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,

所以. …………………………………1分

因为平面,平面,

所以. …………………………………2分

因为,

所以平面. ……………………3分

因为平面,

所以. ……………………………4分

（Ⅱ）法1: 以点为坐标原点，所在直线为轴，

所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

因为平面,

所以为直线与平面所成角. ……………………………………5分

由题意得, 即,…………………………………6分

从而.

不妨设, 又, 则,.…………………………7分

故,,,. ……………………………8分于是,,,,

设平面与平面的法向量分别为,

由得令,得,

所以. …………………………………9分

由得令,得,.

所以. …………………………………10分

所以. …………………………………11分

所以二面角的余弦值为. …………………………………12分法2: 因为平面,

所以为直线与平面所成角. …………………………………5分

由题意得, 即,…………………………………6分

从而.

不妨设, 又,

则,,. …………………………………7分

由于平面,平面, 则∥.

取的中点, 连接, 则.

在Rt△中,,

在Rt△中,,

在Rt△中,,

取的中点, 连接,,,

则. …………………………………8分

所以为二面角的平面角. …………………………………9分

在Rt△中,,

在Rt△中,,

在Rt△中,,

因为, …………………………………10分

所以. …………………………………11分

所以二面角的余弦值为. …………………………………12分

20. 解：

（Ⅰ）设圆的半径为, 圆心的坐标为，

由于动圆与圆相切，且与圆相内切，

所以动圆与圆只能内切. …………………………………1分

所以…………………………………2分

则. …………………………………3分

所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆,

且, 则.

所以曲线的方程为. …………………………………4分（Ⅱ）设，直线的方程为，

由可得，

则. …………………………………5分

所以…………………………………6分

…………………………………7分

因为，所以△的面积等于△的面积. …………………8分

点到直线的距离. ……………………………9分

所以△的面积.

…………………………………10分

令，则，.

设，则.

因为, 所以

所以在上单调递增.

所以当时,取得最小值, 其值为. …………………………………11分

所以△的面积的最大值为. …………………………………12分

说明: △的面积.

21. 解:

（Ⅰ）函数的定义域为.

. ………………………………………………………………1分

依题意得，即……………………3分

所以. ………………………………………………………………4分

所以，.

当时,; 当时,.

所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分

（Ⅱ）当时，.

等价于，

也等价于. ………………………………………7分

不妨设，

设（）,

则. …………………………………………………………8分

当时，，所以函数在上为增函数，

即， ……………………9分

故当时，（当且仅当时取等

号）.

令，则， …………………………………………10分

即（当且仅当时取等号），……………11分

综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.

………………………………………………………………12分

22.解：（1）由消去参数，得

即的普通方程为

由，得①

将代入①得

所以直线的斜率角为.

（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)

即(为参数)，

代入并化简得

设两点对应的参数分别为.

则，所以

所以.

23.（1）解：①当时，原不等式化为解得；

②当时,原不等式化为解得，此时不等式无解；

③当时，原不等式化为解.

综上，或

（2）证明，因为.

所以要证，只需证，

即证，

即证，

即证，即证，

因为，所以，所以，

所以成立.

所以原不等式成立.