广西陆川县中学2018届高三上学期期末考试数学理

广西陆川县中学2017年秋季期高三期考

理科数学试题

第I卷(选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合P={4，5，6}，={1，2，3}，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ）
   A、32 B、31 C、30 D、以上答案都不对
2. 关于复数的四个命题：
   ：；：；：的共轭复数为；：的虚部为-1。其中的真命题个数为（  ）。
   A、、B、、C、、D、、
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）
   A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
   4．将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（ ）
   1. B.C.D.
      5. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
      A.1 B.2 C.3 D.4
      6. 已知满足条件，则目标函数从最小值变化到时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（ ）
      1. B.C.D.

7．执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　）

A．2B．3C．4D．5

8．设函数，则满足的的取值范围是（）

A.B.C.D.

9. 将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像. 若对满足的，有，则（）

1. B.C.D.

1. 已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为60^o的直线L与抛物线在第一四象限分别交于A，B两点，则等于（ ）
   A.3 B.C.D.2
   11.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项的和，若，则（ ）
   1. B.C.D.

12. 已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）

1. B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件则的最大值为 .

14．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O(球心为O)的球面上，且AB＝6，BC＝，则棱锥O­ABCD的体积为__________．

15．(x²－x－2y)⁵的展开式中，x⁵y²的系数为

16．已知f(x)＝ln，x∈(0，2)．现有下列命题：

①f(x)图像关于(1，0)对称

②f(x)为增函数

③ |f(x)|≥2|x－1|

其中的所有正确命题的序号是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

18.（本小题满分12分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

19 ·（本小题满分12分）在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把ABD折起，折起后使ADC的余弦值为

(1)求证：平面ABD平面CBD;

(2)若M是AB的中点，求折起后AC与平面MCD所成角的正弦值

20.(本小题满分12分）已知平面上动点P（x,y）及两个定点A（一2，0），B（2，0），直线PA, PB的斜率分别为k1，k2且k1k2=

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N，当0MON（0为坐标原点）时，求点0到直线l的距离·

21.(本小题满分12分）已知函数.

（I）讨论函数的单调性；

（II）求f(x)在上的最大值和最小值.

考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。

22.(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆.

（Ⅰ）求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）求圆被直线：所截得的弦长.

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，若f(x)的最大值为a.

(1) 求a的值；

(2) 若p，q，r是正实数，且满足p＋2q＋r＝a，求p²＋q²＋r²的最小值

1.B2.C3.B4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A11.D 12.C

1. 填空题（每题5分）

13. 3 14、15.－12016.①②③

三、解答题

17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；

（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.

试题解析：由题意知，

化简得，

即.

因为,

所以.

从而.

由正弦定理得.

由知,

所以，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

18.解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，

所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.

（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.

所以的所有可能取值为0,1,2.

.

所以的分布列为

	0	1	2

故的期望.

（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.

1. （1）省（详见微信群)
2. 
3. 
   d=
   21.解：（1）=（x²+2x）e^x+（x³+x²）e^x=x（x+1）（x+4）e^x……2分
   因为，令f′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4
   当x＜﹣4时，f′（x）＜0，故g（x）为减函数；
   当﹣4＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，故g（x）为增函数；
   当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，故g（x）为减函数；
   当x＞0时，f′（x）＞0，故g（x）为增函数；…………………………5分
   综上知f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和
   （0，+∞）内为增函数…………………………………………………7分
   (2)因为
   由（1）知，上f（x）单调递减，在上f（x）单调递增
   ………………………………………………………9分
   所以……………………………………………….10分
   又f（1）=，f（-1）=，
   所以………………………………………………12分
   22.（1）圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos（θ+）…………………………………….5分
   （2）将θ=﹣代入圆C的极坐标方程ρ=4cos（θ+），得ρ=2，
   所以，圆C被直线l：θ=所截得的弦长，可将θ=﹣代入极坐标方程求得为ρ=2．即弦长为2……………………………………………………10分
   23.
   1. f(x)=|x＋1|－|x－2|/_D_Dd__________

所以f(x)_max=3，即a=3··········(5分)

(本题也可分段解析、作图解答；也可用几何意义求解)

(2) 由柯西不等式：(p²＋q²＋r²)(1+4+1)=(p＋2q＋r)²=9

即 6(p²＋q²＋r²)=9，所以p²＋q²＋r²=

当p=r=，q=1时相等，故最小值为··········(10分)