江苏省海安高级中学2018届高三1月月考数学

江苏省海安高级中学2018届高三1月月考（阶段检测 三）

数 学

Ⅰ卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）

1．已知集合，，若，则实数的值为▲.

2．复数在复平面内对应的点位于第▲象限.

3．根据如图所示的伪代码，当输入的值为时，输出的值为▲.

4．从某小学随机抽取名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为▲.

5．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的

黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一

点，则此点取自黑色部分的概率是▲.

6．若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是▲.

7．已知函数与（），它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是▲.

8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为▲.

9．已知向量，，则与的夹角的大小为▲.

10．已知一个圆锥母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为▲.

11．已知等比数列的前项和为，若，则▲.

12．已知上的动点，则的最小值为▲.

13．若是与的等比中项，则的最大值为▲.

14．在中，角的对边依次为，若为锐角三角形，且满足则的取值范围是▲．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，∥，．

（1）若，求证：∥平面；

（2）求证：平面平面．

第15题

16．（本小题满分14分）

已知函数.

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）设的角的对边分别为，且，，若，求边，的值.

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆C的另一个交点为B，若PA⊥PB，求实数λ的值.

第17题

18．（本小题满分16分）

一块圆柱形木料的底面半径为12cm，高为32cm，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为rcm，高为hcm，要求笔筒底面的厚度超过2cm．

（1）求与的关系，并指出的取值范围；

（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a（元/ cm²），桶内侧面喷漆费用为2a

（元/cm²），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a（元/ cm²）（其中a为正常数）．

①将笔筒的后续加工费用（元）表示为的函数；

②求出当取何值时，能使笔筒的后续加工费用最小，并求出的最小值．

19．（本小题满分16分）

已知数列中，首项，，对任意正整数都成立，数列的前项和为．

（1）若，且，求实数的值；

（2）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求（用，表示）．

20．（本小题满分16分）

已知函数（）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若存在两条直线，（）都是曲线的切线，求实数的取值范围；

（3）若，求实数的取值范围.

Ⅱ卷（附加题）

21．B【矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵，若，求矩阵的特征值．

C【坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为．

①写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

②若点坐标为（1，1），圆与直线交于，两点，求的值．

22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线：（）．

（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；

（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．

①求证：线段PQ的中点坐标为；

②求的取值范围．

23．（本小题满分10分）已知（，为常数）．

（1）求；

（2）我们知道二项式的展开式，若等式两边对求导得，令得．利用此方法解答下列问题：

①求；

②求．

---

答案：

1.2

2.四

3.28

4.3

5.

6.a＞2

7.

8.

9.

10.

11.448

12.

13.

14.

15.【解析】

（Ⅰ）证明：取的中点，连接、，

因为为对角线与的交点，则为中点，

所以∥，且．

又因为∥，且，

所以∥，，则四边形为平行四边形，----------3分

所以∥．

又因为平面，平面，∥，

所以∥平面；-------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）证明：因为四边形为菱形，所以，--------------------------7分

又因为，是的中点，所以，------------------8分

又有平面，平面,

所以平面，----------------------------------------------12分

又因为平面，

所以平面平面．----------------------------------------14分

16.【解析】（Ⅰ）因为

-------------------------------------------------------------------4分

当且仅当时，--------------------------------------6分

最小正周期分别为和.------------------------------------------------7分

（Ⅱ）因为，即，因为，所以

，于是，即.------------------------------10分

因为，由正弦定理得，-------------------------------------12分

由余弦定理得，即，

联立，解得.-------------------------------------------14分

17.解:(1)因为点在椭圆C上，则，------------------------------1分

又椭圆C的离心率为，可得，即，

所以，代入上式，可得，

解得，故.

所以椭圆C的方程为5分

(2)设P(x₀，y₀)，则A(-x₀，-y₀)，Q(x₀，-y₀).

因为=λ,则(0，y_D-y₀)=λ(0，-2y₀)，故y_D=(1-2λ)y₀.

所以点D的坐标为(x₀，(1-2λ)y₀).7分

设B(x₁，y₁)，

9分

又

故.----------------------------------------------------------------------11分

又PA⊥PB，且，

所以，即，解得.

所以14分

18.【解析】（Ⅰ）据题意，，所以，----------------------3分

因为，所以

即，解得，----------------------------------------------------------5分

又，所以；----------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用，

整理得

，定义域为；----------------------11分

②由①知，，令得，

	递减	极小值	递增

由表知，当时，取极小值即最小值.------------------------15分

答：当时，能使笔筒的后续加工费用最小，最小值为元．----16分

19.【解析】（Ⅰ）当时，由得，

即，所以数列为等差数列，--------------------1分

公差为，数列的前项和为

，由得，

解得；---------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）设数列为等比数列，则其公比为，，，．

若为等差中项，则即，解得，与已知不符，舍去；

若为等差中项，则即，即，解得

或（舍），此时由得即，故；

若为等差中项，则即，即，解得或（舍），仿得．---------------------------------------------------8分

综上，满足要求的实数有且仅有一个，；---------------------------------9分

（Ⅲ）当时，，所以，

于是．----------------------------------------11分

当为偶数时，；

---------------------------------------------------------------------------------13分

当为奇数时，

（），当时，也适合该式，

所以．-----------------------------------------------16分

20.【解析】（Ⅰ）（）.

当时，，的递减区间为；----------------------------1分

当时，由得，列表得：

	递减	极小值	递增

所以，函数的递减区间为，递增区间为；-----------------------4分

（Ⅱ）因为存在两条直线、（）都是曲线的切线，

所以至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分

令，得，记其两个根为、（），

则，解得，------------------------------------------------------------------------------------7分

而当时，曲线在点、处的切线分别为、，设（），由

知，当时，即在区间上是单调函数，因此，所以、不重合，即、（）是曲线的两条不同的切线，故；----------------10分

（Ⅲ）当时，函数是内的减函数，因为，而

，不符合题意；----------------------------------------------------------12分

当时，由（Ⅰ）知的最小值为.

若即时，，所以符合题意；

若即时，，所以符合题意；

若即时，，而，函数在内递增，所以当

时，，又因为的定义域为，所以，符合题意.

综上，实数的取值范围为.----------------------------------------------16分

---

【解析】因为，所以，解得，

所以，--------------------------------------------------------------------------------5分

其特征多项式为，

令，解得特征值为，．----------------------------10分

【解析】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）．

消去参数可得直线的普通方程为；---------------------------------------2分

圆的方程为，即，

可得圆的直角坐标方程为．------------------------------------------4分

（Ⅱ）将代入得，

设、两点对应的参数分别为、，

则，，所以．------10分

另解：由得，则，---------------------------------------6分

不妨取，则，---------------------------------------------------------------8分

，

，

所以

--------------------------------------------------10分

【解析】（Ⅰ）抛物线：（）的焦点为，

由点在直线：上得，即，

所以抛物线的方程为；-------------------------------------------------2分

（Ⅱ）设、，线段的中点．

因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，

于是的方程可设为．

①证明：由得……（﹡），

因为和是抛物线上相异两点，所以，

从而，化简得，方程（﹡）的两根为

，从而．

因为在直线上，所以，

因此，线段的中点坐标为；--------------------------6分

②因为在直线上，

所以，即．

由①知，于是，所以，

即的取值范围为．-------------------------------------------10分

【解析】（Ⅰ）对于，

取得；-------------------------------------------------------------2分

（Ⅱ）①对两边求导得

，

取得；--------------------------------6分

②将两边乘以得

，两边求导得

，

取得．-----------------------10分