江西省南昌市三中2016届高三上学期第四次月考数学（理）试卷

南昌三中2015-2016学年度上学期第四次月考

高三数学（理）试卷

命题：黎欣 审题：邱焱明

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）

1. -5 B. 5 C. -4+i D. -4-i

2. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

3. 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）

4. 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₆＝18－a₇，则S₁₂＝(　　)

A．18 B．54 C．72 D．108

6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )

1. B.C.D.

7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)

A． B． C．4　D．2π

8. 已知O是坐标原点，点A(－1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|＋|的取值范围是(　　)

A．[1，] B．[2，] C．[1,2] D．[0，]

9. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x²，则函数y=f(x)-的零点个数为( )

1. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10. 设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°.定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(p)＝(，x，y)，则log₂x＋log₂y的最大值是(　　)

A．－5 B．－4 C．－3 D．－2

11. 设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：,取函数f(x)=2-x-e^-x，若对任意的x∈(-∞,+ ∞)，恒有f_k(x)＝f(x)，则( )

1. k的最大值为1 B. k的最小值为1 C. k的最大值为2 D. k的最小值为2

12. 已知函数f(x)＝e^x(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　)

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N^*)，则a＝________.

14. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·＝________.

15. 对于任意定义在区间D上的函数f(x)，若实数x₀∈D，满足f(x₀)＝x₀，则称x₀为函数f(x)在D上的一个不动点，若f(x)=2x++a在区间(0，+∞)上没有不动点，则实数a取值范围是_______.

16. 函数f(x)=x|x|+bx+c，给出四个命题：

①当C＝0时，y＝f(x)是奇函数；②当b=0，c>0时方程f(x)＝0只有一个实数根；

③y＝f(x)的图象关于点(0,c)对称；④方程f(x)=0至多有两个实数根.

上述命题中，所有正确命题的序号是________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，－)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.

1. 求函数f(x)的最小正周期；
2. 已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．

18. 某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．

1. 求恰有2条线路没有被选择的概率；
2. 设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19. 若不等式对一切正整数都成立，由特殊值猜测正整数的最大值，并用数学归纳法证明你的结论.

20.如图，在几何体ABC－A₁B₁C₁中，点A₁、B₁、C₁在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA₁＝BB₁＝4，AB＝BC＝CC₁＝2，E为AB₁的中点．

1. 求证：CE∥平面A₁B₁C₁；(2)求二面角B₁－AC₁－C的大小；

(3)设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB₁C₁，求线段BM的长．

21. 已知数列{a_n}满足a₁＝，a_n＝2－(n≥2)，S_n是数列{b_n}的前n项和，且有＝1＋b_n.

1. 证明：数列{}为等差数列；(2)求数列{b_n}的通项公式；

(3)设c_n＝，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n<1.

22.已知二次函数h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其导函数的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).

（1）求f(x)在x=3处的切线斜率；

（2）若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，求实数m的取值范围；

（3）若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，

求c的取值范围.

南昌三中2015-2016学年度上学期第四次月考

高三数学（理）试卷

命题：黎欣 审题：邱焱明

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）

1. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i
   [答案] A
   2. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)
   A．1　　B．2 C．3 D．4
   [答案] D
   3. 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）
   
   [答案] D
   4. 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
   A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
   [答案]A
   5．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₆＝18－a₇，则S₁₂＝(　　)
   A．18 B．54 C．72 D．108
   [答案]D
   6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )
   1. B.C.D.
      [答案]D
      7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)
      A． B． C．4　D．2π
      [答案]A
      8. 已知O是坐标原点，点A(－1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|＋|的取值范围是(　　)
      A．[1，] B．[2，] C．[1,2] D．[0，]
      [答案]A
      9. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x²，则函数y=f(x)-的零点个数为( )
      A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
      [答案]C
      10. 设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°.定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(p)＝(，x，y)，则log₂x＋log₂y的最大值是(　　)
      A．－5 B．－4 C．－3 D．－2
      [答案]　B
      11. 设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：,取函数f(x)=2-x-e^-x，若对任意的x∈(-∞,+ ∞)，恒有f_k(x)＝f(x)，则( )
      1. k的最大值为1B.k的最小值为1 C.k的最大值为2 D. k的最小值为2

[答案]　B

12. 已知函数f(x)＝e^x(sinx－cosx)，x∈(0,2013π)，则函数f(x)的极大值之和为(　　)

A． B． C． D．

[答案]　B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N^*)，则a＝________.

[答案]　nⁿ

[解析]　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝1¹＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝2²＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝3³＝27，归纳可知a＝nⁿ.

14. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上，若·＝3，则·＝________.

[答案]　－4

[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，

设F(x，)，∵＝(3,0)，＝(x，)，∴·＝3x＝3，∴x＝1，

又∵＝2，∴E(3，)，∴＝(3，)，＝(－2，)，∴·＝－6＋2＝－4.

15. 对于任意定义在区间D上的函数f(x)，若实数x₀∈D，满足f(x₀)＝x₀，则称x₀为函数f(x)在D上的一个不动点，若f(x)=2x++a在区间(0，+∞)上没有不动点，则实数a取值范围是___ ____.

[答案]　a>－2

16. 函数f(x)=x|x|+bx+c，给出四个命题：

①当C＝0时，y＝f(x)是奇函数；②当b=0，c>0时方程f(x)＝0只有一个实数根；

③y＝f(x)的图象关于点(0,c)对称；④方程f(x)=0至多有两个实数根.

上述命题中，所有正确命题的序号是________.

[答案]①②③

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，－)，设函数f(x)＝(m＋n)·m.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)已知a、b、c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函数f(x)在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．

[解析]　(1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos²x＋sinxcosx＋＝＋sin2x＋

＝cos2x＋sin2x＋2＝sin(2x＋)＋2，因为ω＝2，所以最小正周期T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋2，当x∈[0，]时，≤2x＋≤.

由正弦函数图象可知，当2x＋＝时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A＋＝，A＝.

由余弦定理a²＝b²＋c²－2bccosA得，1＝b²＋3－2××b×cos，所以b＝1或b＝2，

经检验均符合题意．

从而当b＝1时，△ABC的面积S＝××1×sin＝；当b＝2时，S＝××2×sin＝.

18. 某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．

(1)求恰有2条线路没有被选择的概率；(2)设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

[解析]　(1)恰有2条线路没有被选择的概率为P＝＝.

(2)ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.

所以ξ的分布列为：

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

19. 若不等式对一切正整数都成立，由特殊值猜测正整数的最大值，并用数学归纳法证明你的结论.

解析：取n=1,,令a＜26,而a∈N^*,∴取a=25.

下面用数学归纳法证明：+…+＞.

(1)n=1时，已证结论正确.

(2)假设n=k(k∈N^*)时,+…+＞,则当n=k+1时，有+

+…++++=(+…+)+

(++)＞+［+-］.

∵+=＞，∴+-＞0.

∴+…+＞，即n=k+1时，结论也成立.

由(1)(2)可知，对一切n∈N^*,都有++…+＞,故a_最大=25.

20.如图，在几何体ABC－A₁B₁C₁中，点A₁、B₁、C₁在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA₁＝BB₁＝4，AB＝BC＝CC₁＝2，E为AB₁的中点．

(1)求证：CE∥平面A₁B₁C₁；(2)求二面角B₁－AC₁－C的大小；

(3)设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB₁C₁，求线段BM的长．

[解析]　因为点B₁在平面ABC内的正投影为B，所以B₁B⊥BA，B₁B⊥BC，

又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系B－xyz，

B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，A₁(2,0,4)，B₁(0,0,4)，C₁(0,2,2)，E(1,0,2)，

(1)证明：设平面A₁B₁C₁的法向量n₁＝(x，y，z)，＝(－2，0,0)，＝(0,2，－2)，

由，即，取y＝1，得n₁＝(0,1,1)，又＝(1，－2,2)，

因为·n₁＝0×1＋1×(－2)＋2×1＝0，所以⊥n₁，所以CE∥平面A₁B₁C₁.

(2)设平面AB₁C₁的法向量n₂＝(x，y，z)，＝ (2,0，－4)，＝(0,2，－2)，
由，即，取y＝1，得n₂＝(2,1,1)，

同理，平面ACC₁的法向量n₃＝(1,1,0)，所以cos〈n₂，n₃〉＝＝，

由图知，二面角B₁－AC₁－C的平面角是钝角，所以二面角B₁－AC₁－C的平面角是π.

(3)设点M的坐标为(a，b,0)，则＝(a－1，b，－2)，由EM⊥平面AB₁C₁，得，

即解得，所以M(－3，－2,0)，||＝.

21. 已知数列{a_n}满足a₁＝，a_n＝2－(n≥2)，S_n是数列{b_n}的前n项和，且有＝1＋b_n.

(1)证明：数列{}为等差数列；(2)求数列{b_n}的通项公式；

(3)设c_n＝，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n<1.

[解析]　(1)证明：∵a_n＝(n≥2)，∴a_n－1＝－1＝，

∴＝＝＝＋1(n≥2)，∴－＝1(n≥2)，

∴数列{}是以＝2为首项，1为公差的等差数列．

(2)当n≥2时，b_n＝S_n－S_n－1＝(2＋b_n)－(2＋b_n－1)＝b_n－b_n－1，

∴＝b_n－1，即＝(n≥2)，∴×××…×＝×××…×，∴＝n·2^n－1，

当n＝1时，b₁＝S₁＝2，∴b_n＝n·2ⁿ.

(3)由(1)知：＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴a_n－1＝，∴a_n＝.

∴c_n＝＝＝－，

∴T_n＝_i＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.

22.已知二次函数h(x)=ax²+bx+c(其中c<3)，其导函数的图象如图，f(x)=6lnx+h(x).

（1）求f(x)在x=3处的切线斜率；

（2）若f(x)在区间(m,m+)上是单调函数，求实数m的取值范围；

（3）若对任意k∈[-1,1]，函数y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数y＝f(x)图象的上方，求c的取值范围.

答案：（1），

，于是，故，∴f(x)在点（3，f（3））处的切线斜率为0.

（2）由，列表如下：

x	(0,1)	1	(1, 3)	3	(3,+∞)
	+	0	－	0	+
f(x)		极大值		极小值

所以f(x)的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）,f(x)的单调递减区间为(1,3).

要使f(x)在(m,m+)上是单调函数，m的取值范围为：.

③由题意知：恒成立在恒成立.

令.

令则

,