河北省定州中学2018届高三（高补班）上学期期末考试数学

河北定州中学2017-2018学年第一学期高四数学期末考试试题

一、单选题

1．F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF₂是等边三角形，则该双曲线的离心率为

1. B.C.D.

2．(导学号：05856255)如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB上的高，点P在射线OC上，则·的最小值为(　　)

1. B. －C. D. －

3．设函数f(x)＝e^x(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x₀使得f(x₀)<0，则a的取值范围是(　　)

1. B.

C.D.

4．已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为(　　)

1. B.C.D.

5．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝,则关于x的函数g(x)＝f(x)＋a(0

1. 10 B. 1－2^a C. 0 D. 21－2^a

6．如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是(　　)

1. B. 8C. D. 4

7．已知函数，实数满足，，则（ ）

1. 6 B. 8 C. 10 D. 12

8．已知定义在R上的函数满足

，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是

1. B. C. (1，2) D. (2，3)

9．已知函数若函数g(x)＝b－f (1－x)有3个零点x₁，x₂，x₃，则x₁＋x₂＋x₃的取值范围是(　　)

1. (－1,1) B. (－1,2) C. (1－，1) D. (2－，2)

10．已知函数f(x)＝e^xsinx(0≤x≤π)，若函数y＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是( )

1. B. C. [0,1) D. [1，e)

11．(2017·郑州市第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为(　　)

1. B.C.D.

12．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：

①若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(3＋x)，则f(x)的一个周期为T＝2；②若函数y＝f(x)满足

f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(3－x)的图象关于直线x＝2对称；④若函数与函数f(x)的图象关于原点对称，则，其中正确的个数是(　　)

1. 1 B. 2

C. 3 D. 4

二、填空题

13．在矩形中，，，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是__________．

14．已知实数满足，且，则的取值范围是__________．

15．(2017·湖南省湘中名校高三联考)定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f(2sinx－2)>f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．

16．若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）

1. B.C.D.

三、解答题

17．设．

（l）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；

（2）是否存在正整数a，使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n﹣1）ⁿ（an）ⁿ对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

18．设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点.

（1）若点为线段的中点，求直线的方程；

（2）证明：以线段为直径的圆恒过点.

19．已知函数.

（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（2）设函数，若存在，使不等式成立，求的取值范围.

20．已知（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：．

参考答案

DDDBB BABDA

11．B

12．C

13．[1,9]

14．

15．

16．D

17．（1）1；（2）见解析.

（1）∵，∴，∵，的解为，∴，∵对一切恒成立，∴，∴，∴．

（2）设，则，令得：，在时，递减；在时，递增，∴最小值为，故，取，得，即，累加得∴，故存在正整数，使得

18．（1）（2）见解析

（1）联立方程组，消去得

设，则

因为为线段的中点，所以，解得，

所以直线的方程为.

（2）证明：因为，

所以，

即

所以，

因此，即以线段为直径的圆横过点.

19．（1）；（2）.

（1）由，得，

所以在上单调递增，所以，所以，

所以的取值范围是.

（2）因为存在，使不等式成立，

所以存在，使成立，

令，从而，，

因为，所以，，所以，

所以在上单调递增，

所以，所以，

实数的取值范围是.

20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）；（2） 见解析.

（Ⅰ）的定义域为R，，（1）当时，在R上恒成立，∴在R上为增函数； （2）当时，令得，令得，∴的递增区间为，递减区间为；

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时，在R上为增函数，不合题意；

当时，的递增区间为，递减区间为，

又，当时，，∴有两个零点，则，解得；

（2）由（Ⅱ）（1），当时，有两个零点，且在上递增， 在上递减，依题意，，不妨设．

要证，即证，

又，所以，

而在上递减，即证，

又，即证，（）．

构造函数，

，∴在单调递增，

∴，从而，

∴，（），命题成立．