浙江省台州中学2016届高三上学期第三次统练数学试卷（理）

台州中学2015学年第一学期第三次统练试题

高三 数学（理）

参考公式：

球的表面积公式 球的体积公式 其中R表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知R为实数集，,，则（ ▲ ）

A．{x|0B．{x|x<2}C．{x|0D．

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ▲ ）

A．B.C.D.

3．下列命题中错误的是 （ ▲ ）

第2题图

A．如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

D．如果平面平面，平面平面，，那么

4．设命题：平面向量和，，则为（ ▲ ）

1. 平面向量和，

B.平面向量和，

C.平面向量和，

D.平面向量和，

5．若∈，则成立的一个充分不必要条件是（ ▲ ）

A．B.C.D.

6．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ▲ ）

　 A． B．C．D．

7. 定义点到直线的有向距离为：（ ▲ ）

.已知点、到直线的有向距离分别是、.以下命题正确的是（ ▲ ）

A.若，则直线与直线平行；

B.若，则直线与直线平行；

C.若，则直线与直线垂直；

D.若，则直线与直线相交。

8．如图，正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角

第8题图

等于,动点在侧面内,底面，垂足为,，

则动点的轨迹为 （ ▲ ）

Ａ． 线段 Ｂ．一段椭圆弧 Ｃ．一段抛物线 Ｄ．一段圆弧

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

9．设函数则▲；若，则的值为▲

10．已知双曲线的离心率是2，则　　▲　以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是▲

11.若函数是奇函数，则▲，使成立的x的取值范围为▲.

12．设为抛物线的焦点，是抛物线上一点，是圆C：上任意一点，设点到轴的距离为，则的最小值为▲

13.设等差数列的前项的和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为▲

14.定义，设实数满足约束条件，，则的取值范围是▲

15．平面向量满足，当▲，▲时，的最小值为▲．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分14分）已知△的三个内角所对的边分别为，向量，，且∥.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）已知是的中线，若，求的最小值．

17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点．

求证：平面；

设点是线段上一动点，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．

第17题图

18．（本题满分15分）设函数

（Ⅰ）当时，讨论函数的零点个数；

（Ⅱ）若对于给定的实数（），存在实数，使不等式对于任意恒成立．试将最大实数表示为关于的函数，并求的取值范围．

19．（本题满分15分）已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且，

第19题图

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 过的直线l与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

20．（本题满分15分）已知为锐角，且，函数，数列的首项.

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：

2015学年第一学期第三次统练参考答案

高三 数学（理）

一、BBAD ADDC

二、9、210、3；11、112、2

13、1008 14、[－7，10] 15、

三、

16．解：（Ⅰ）∵∥∴， ……………………………2分

由正弦定理得：，………………………4分

即：，∴，∴…………………………………6分

∴……8分

∵，∴∴

∴，即：． ……………………………10分

（Ⅱ）延长至E，使，连结，则为平行四边形，

由得，即，………………………………12分

由，，即

∴的最小值为…………………………………………………………14分

17．解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

则

设平面PCD的法向量是，则

即

令，则，于是

∵，∴，

∴AM//平面PCD ……5分

（2）因为点是线段上的一点，可设

又面PAB的法向量为

设与平面所成的角为

则

时， 即时，最大，……10分

15分

18．解答：解：（Ⅰ）f（x）=，

∵a＞0，

∴当b＞0时，x²﹣ax+b=0在x≥a上无解，﹣x²+ax+b=0在x＜a上恰有一解，

当b=0时，x²﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，﹣x²+ax+b=0在x＜a上恰有一解，此时函数f（x）有2个零点，

当b＜0时，x²﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，

若判别式△=a²+4b＜0，则﹣x²+ax+b=0在x＜a上无解，

判别式△=a²+4b=0，则﹣x²+ax+b=0在x＜a上恰有一解，

判别式△=a²+4b＞0，则﹣x²+ax+b=0在x＜a上恰有两个不同的解，

综上在a＞0的条件下，

当或时，函数f（x）有一个零点，

当或时，函数f（x）有2个零点，

当时，函数f（x）有3个零点．.............................7分

（Ⅱ）首先记g（x）=f（x）﹣x=，

当≤a＜0时，2a﹣1＜＜a＜＜2a+1，................9分

∴g（x）在[2a﹣1，]上为增函数，在[，]上为减函数，在[，2a+1]上为增函数，..............................................................................................11分

∴当2a﹣1≤x≤2a+1，

∴g（x）_max=max{g（），g（2a+1）}，因为g（）>g(2a+1),所以g（x）_max=g（）=，...........................13分

此时最大的b满足g（）=，

从而b_max=m（a）=，

∴m（a）=，（≤a＜0），

解得m（a）的取值范围是[，）.............................15分

19．解：（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得=3，……………………………………………3分

解得a=2，b=，

故椭圆方程为=1……………………………………………5分

（2） 设M，N,不妨>0,<0,设△MN的内切圆的径R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大，………………………………………7分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0，………………………8分

得，，

则AB（）==，……………10分

令t=,则t≥1,

则,………………………12分

令f（t）=3t+，f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4,≤=3,

即当t=1,m=0时，≤=3,=4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π.

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………15分

20．解：⑴又∵为锐角

∴∴…………3分

⑵∵∴都大于0

∴∴…………………………………7分

⑶

∴…………………………………9分

∴

…………………………………13分

∵, , 又∵

∴∴

∴…………………………15分