浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三上学期期中考试数学试卷

宁波诺丁汉大学附属中学

2016-2017学年度第一学期期中考试

高三年级 数学试题卷

答卷时间：120分钟 满分：150分 命题人：苏锡福 校对人：孙 环

考生注意：1.不允许用计算器。

2.参考公式：

球的表面积公式：S=4πR2 球的体积公式：V=πR3 其中R表示球的半径 棱锥的体积公式：V=Sh 其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高

棱柱的体积公式：V=Sh 其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高 棱台的体积公式 V= 其中S1,S2分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．定义集合，，则（　　）

A．B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）

2．下列命题正确的是（　　）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．函数的零点是（3，0）或（﹣2，0）

C．对于命题p：∃x∈R，使得x²﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x²﹣x﹣6≤0

D．命题“若，则”的否命题为“若，则”

3．已知是相异两平面，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（　　）

A．若则B．若则

C．若，则D．若，则

4．已知为等差数列，，以表示的前n项和，则使得达到最大值的是(　　)

1. 21 B. 20 C. 19 D. 18

5．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，则具有性质（　　）

A．在上单调递增，为奇函数 B．周期为，图象关于对称

C．最大值为，图象关于直线对称 D．在上单调递增，为偶函数

6．已知，若的值域为的值域为，则实数的最大值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

7．已知点为双曲线右支上一

点，分别为双曲线的左右焦点，且，为

三角形的内心，若成立， 则的值为（ ）

A．B．C．D．

8．在长方体中，已知二面角的大小为，若空间一条直线与直线CC₁所成的角为，则直线与平面所成的角的取值范围是（ ）

A．B．C．D．

二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分.

9. 函数在处的切线方程是______________，以直线与轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.

10．设函数，则　　　　，

方程的解集　　　　　　．

11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________，

体积为_______________．

12．已知两个等比数列，，满足.

若=1，则数列的通项公式为______________，若数列唯一，则=__________.

13．已知实数满足则的取值范围是　　　　　　．

14．在中，已知,若,且, 则在上的投影的取值范围是 ．

15. 记，设，其中，

则的最小值是__________．

三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（14分）已知在中,内角所对的边分别是，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

17．（15分）如图，矩形中，，将其沿翻折，使点到达点的位置，且二面角为直二面角．

（1）求证：平面平面；

（2）设是的中点，二面角的平面角

的大小为，当时，求的取值范围．

18．（15分）数列各项均为正数，，且对任意的，都有．

（1）取，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若，是否存在，使得，若存在，试求出的最小值，若不存在，请说明理由．

19．（15分）已知椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由．

20．（15分）已知函数，令．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，且正实数满足，求的取值范围．

2015-2016学年度第二学期期末考试

高三年级数学参考答案

一、1.B； 2.C； 3.D； 4.B； 5.A； 6.C； 7.D； 8.A.

二、9.； 10. ； 11. ；

12.； 13. ； 14. ； 15. .

三、16.解：（1）由已知得,csinA=acosC,由正弦定理得,sinCsinA=sinAcosC.

又sinA>0,∴cosC≠0,sinC=cosC,tanC=,∴C=. ………………………………6分

（2）由2sin 2A+sin(2B+C)=sinC得,2sin 2A=sinC-sin(2B+C),

资*源%库∴4sinAcosA=sin(A+B)-sin[(π-A)+B]=sin(A+B)+sin(B-A)=2sinBcosA.

当cosA=0时,A=,此时B=，∵c=2, ∴b=,S_△ABC=bc=.

当cosA≠0时,sinB=2sinA,∴b=2a. 由c²=a²+b²-2abcosC得,4=a²+b²-ab.

联立,得, ∴S_△ABC=absinC=.

综上所述,△ABC的面积为.………………………14分

17.证明：（1）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，

AB⊥BC，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE

∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE

∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE………..6分

解：（2）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，

则，设平面EAC的法向量为

则，取x=1，， 同理设平面FAC的法

向量为，

∴

∵. …………15分

18.（1）证明：

(为常数)，

所以数列是公比为的等比数列.. ………………………………………7分

解：（2）∵a_n+1=a_n+ca_n²，c=， ∴a_n+1＞a_n＞0．

∴，即=，

∴++…+=++…+=． ∴＜++…+=．

当n=2016时，＜1，可得a₂₀₁₇＜1．

当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a₂₀₁₈＞1．

因此存在n∈N^*，使得a_n＞1． ………………………………………………………………………………15分

19.解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线

与圆x²+y²=相切，∴，解得c²=1，a²=4，b²=3，

∴椭圆方程为. …………………………………………………………………………………6分

（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，

则有=（x₁﹣m）（x₂﹣m）+y₁y₂=

如果要上式为定值，则必须有

验证当直线l斜率不存在时，也符合．

故存在点满足. …………………………………………………………15分

资*源%库20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），

由f′（x）＞0，得：0＜x＜1， 所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分

（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx²+x，x＞0，

令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx²+（1﹣m）x+1，

则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．

G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，

①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，

又因为G（1）=ln1﹣m×1²+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，

②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，

所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，

因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，

故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，

令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，

又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，

所以整数m的最小值为2． …………………………………………………………10分

（3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x²+x，x＞0，

由F（x₁）=﹣F（x₂），得F（x₁）+F（x₂）=0，即lnx₁++x₁+lnx₂++x₂=0，

整理得：+（x₁+x₂）=x₁x₂﹣ln（x₁x₂），令t=x₁•x₂＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上

单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，

所以+（x₁+x₂）≥1，解得：x₁+x₂≤﹣﹣1，或x₁+x₂≥﹣1，

因为x₁，x₂为正整数，所以：x₁+x₂≥﹣1成立． ………………………………………………15分