浙江省嘉兴一中2016届高三上学期综合能力测试数学（理）试卷

2015年高三测试卷

数 学(理科)

姓名______________ 准考证号______________

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。满分150分, 考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共40分)

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

球的表面积公式 球的体积公式 其中R表示球的半径 柱体的体积公式 V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式 V=Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 台体的体积公式 其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角是

1. B.

C.D.

2．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的

体积等于

A．10 cm³B．20 cm³C．30 cm³D．40 cm³

3．已知为异面直线．对空间中任意一点，存在过点的

直线

1. 与都相交B. 与都垂直

（第2题

C. 与平行，与垂直D. 与都平行

4．为得到函数的图象，只需将函数的图象

1. 向左平移单位B. 向右平移单位

C. 向左平移单位D. 向右平移单位

5．已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则

1. 函数为偶函数B. 函数为奇函数

C. 函数为偶函数D. 函数为奇函数

6．命题“，或”的否定形式是

1. ，或B.，或

C.，且D.，且

7．如图，A，F分别是双曲线的左

顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是

A．B．C．D．

8．已知函数，且，．

1. 若，则B. 若，则

C. 若，则D. 若，则

非选择题部分 (共110分)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图, 可先使用2B铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9． 若集合，，则_______，_______．

10．已知单位向量满足．若，则_______，_______．

11．已知等比数列的公比，前项和为．若成等差数列，，则_______，_______．

12．设，实数满足若的最大值是0，则实数=_______，的最小值是_______．

13．若实数满足，则_______．

14．设A(1，0)，B(0，1)，直线l：y＝ax，圆C：(x－a)²＋y²＝1．若圆C既与线段AB又与直线l有公共点，则实数a的取值范围是________．

15．已知函数，，且．记为在上的最大值，则的最大值是_______．

三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）在中，内角所对的边分别是．已知，边上的中线长为4．

(Ⅰ) 若，求；

(Ⅱ) 求面积的最大值．

17．(本题满分15分) 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝．

(Ⅰ) 证明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小为60°，求AP的值．

18．（本题满分15分）已知函数，其中，．记为的最小值．

(Ⅰ) 求的单调递增区间；

(Ⅱ) 求的取值范围，使得存在，满足．

19．（本题满分15分）已知为椭圆上两个不同的点，为坐标原点．设直线的斜率分别为．

(Ⅰ) 当时，求；

(Ⅱ) 当时，求的取值范围．

（第19题图）

20．（本题满分15分）已知数列满足，．

(Ⅰ) 证明：数列为单调递减数列；

(Ⅱ) 记为数列的前项和，证明：．

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测试卷 数学试题(理科)参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。

1．C2．B3．B4．D

5．A6．D7．D8．D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。

9．，10．2，

11．2，12．4，

13．214．[，]

15．2

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

16．本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由及正弦定理得

， .........1分

所以

，

故

， .........3分

所以，由余弦定理得

，

解得

． .........6分

(Ⅱ) 由知，及，解得

． .........8分

所以的面积

． .........10分

由基本不等式得

，.........13分

当且仅当时，等号成立．

所以面积的最大值为． .........14分

17．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

CE＝＝1，DE＝＝3，.........3分

所以BE＝DE，从而得

∠DBC＝∠BCA＝45°，.........5分

所以∠BOC＝90°，即

AC⊥BD． .........6分

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC． .........7分

方法一：

(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．

由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°． .........11分

在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝． .........12分

在Rt△PAC中，＝．设PA＝x，可得＝．.........14分

解得x＝，即AP＝． .........15分

方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．.........8分

由题意知各点坐标如下：

A(0，－，1)，B(，0， 0)，

C(0，，0)，D(－，0， 0)．.........9分

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－，t) (t＞0)．

设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由＝(－，－，0)，＝(－，，－t) 知

取y＝1，得

m＝(－2，1，)． .........12分

又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，于是 .........13分

|cos<m，n>|＝＝＝．

解得t＝，即AP＝． .........15分

18．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意得

．.........2分

所以，当时，即当时，函数的单调递增区间为；.........5分

当时，函数的单调递增区间为． .........7分

(Ⅱ)由的单调性得

.........10分

由与得

， .........12分

由与得

． .........14分

综上，的取值范围为． .........15分

19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ)由直线斜率，得直线的方程为

， .........2分

代入椭圆方程得

，

所以

． .........5分

(Ⅱ) 设点，，直线的方程为．

由消去得

． .........7分

故，且

　① .........9分

　

由得

，

将，代入得

，②

将①代入②得

． .........12分

联立与得

.........13分

解得的取值范围为

．.........15分

20．本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。

(Ⅰ)由题意知，故

， .........6分

所以数列为单调递减数列．

(Ⅱ) 因为，，所以，当时

，

得

，

故

． .........8分

因为

， .........11分

故

．.........13分

所以

． .........15分