湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学文

华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试

数学（文）试题

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第Ι卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）

1．已知集合，则

A． 　 　 B．

C．D．

2．已知是虚数单位，，则“”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知是两相异平面，是两相异直线，则下列错误的是

A．若∥，则B．若，则∥

C．若，则D．若∥，则∥

4．两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是

　A． 　 　B．　C．　D．

5.等差数列的前n项和为，已知，则等于

A．B．50C．0D．

1. 已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是
   A．B．C．D．
   7．设，则的大小关系为
   A．B．C．D．
   8．执行如下图的程序框图，如果输入的，则输出的
   A．5B．6C．7D．8
   

   ---

   9．如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
   1. B．　　　C．　　　　D．
      10．若向量满足，则在方向上投影的最大值是
      A．B．C．D．
      11．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率是
      A．B．C．D．
      12．若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为
      1. B．　　　C．　　　D．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）

13．已知，则的值为__________．

14．已知，点在内且．若，则__________．

15．已知函数，把的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数的图象，则的最小值为__________．

16．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的面积取最小值时有__________．

三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且，为等差数列，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人．

（1）求该组织的人数；

（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?

（3）在（2）的条件下,该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．

（1）求证：平面；

（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围．

21．(本小题满分12分)函数.

（1）若函数，求函数的极值；

（2）若在恒成立，求实数的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线参数方程为(为参数)，直线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标．

23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

---

华中师大一附中2017—2018学年度上学期高三期中考试

数学试题（文科）参考答案与评分标准

1. 选择题
2. 填空题 13．； 14．； 15．； 16．
3. 解答题

17.解：（Ⅰ）当时，，

当时，，

经验证当时，此式也成立，所以，

从而，

又因为为等差数列，所以公差，

故数列和通项公式分别为：. ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

所以……①

①得……②

①-②得：

.

∴数列的前项和. …………………12分

1. 解： (1)由题意第2组的人数为35=5×0.07×n,得到n=100,故该组织有100人.
   ………………… 2分
   (2)第3组的人数为0.06×5×100=30，第4组的人数为0.04×5×100=20，第5组的人数为0.02×5×100=10，所以第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组；第4组；第5组．
   所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人． ………………6分
   (3)记第3组的3名志愿者为A₁,A₂,A₃,第4组的2名志愿者为B₁,B₂,第5组的1名志愿者为C₁,则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A₁,A₂),(A₁,A₃),(A₁,B₁),(A₁,B₂),(A₁,C₁),(A₂,A₃),(A₂,B₁),(A₂,B₂),(A₂,C₁),(A₃,B₁),(A₃,B₂),(A₃,C₁),(B₁,B₂),(B₁,C₁),(B₂,C₁),共有15种．
   其中第3组的3名志愿者A₁,A₂,A₃至少有一名志愿者被抽中的有(A₁,A₂),(A₁,A₃),(A₁,B₁),(A₁,B₂),(A₁,C₁),(A₂,A₃),(A₂,B₁),(A₂,B₂),(A₂,C₁),(A₃,B₁),(A₃,B₂),(A₃,C₁),共有12种．
   则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为．…………………12分
2. （1）证明：底面是菱形，对角线，

又，平面，平面，，

又为中点，平面．

…………………6分

1. 连∥平面，平面，平面平面，

∥，在三角形中，是的中点，是的中点．取的中点，连，则∥，底面，且，　

在直角三角形中，

在直角三角形中，

． 　　　　　　　…………………12分

20．（1）由题意，

故椭圆． …………………4分

（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，

∴，，故.

②若直线斜率存在，设直线的方程为，

由消去得：，

设，，则,.

，，

则

代入韦达定理可得

由可得，结合当不存在时的情况，得

21．解：（1），定义域

由得, 由得,在递增,在递减,没有极小值. …………………4分

（2）由在恒成立，整理得在恒成立,设,

则, …………………6分

时,,且,

时,,设

在递增,又使得时,,时,,

时,,时,.

函数在递增,递减,递增, …………………9分

又

，时，， …………………11分

,即的取值范围是…………………12分

1. 解：（1）曲线的方程为，直线的方程为.

…………………5分

（2）在上任取一点

则点到直线的距离为=

∴当时，，此时这个点的坐标为

…………………10分

23.解:（1）)等价于或或，

解得：或．故不等式的解集为或．

………………5分

（2）因为:

所以,由题意得：， 解得或．

…………………10分